MATEMANIJA

Evo imam jedan veoma lagan zadatak iz funkcija gdje me zbunjuje šta znači ograničene na intervalu? Da li to znači da taj neki interval mora da se nalazi u domenu te funkcije?

Dokazati da su funkcije [inlmath]y=x^2[/inlmath] i [inlmath]y=x^3[/inlmath] ograničene na intervalu [inlmath][-2,6][/inlmath].

To znači da te funkcije na celom tom intervalu imaju konačnu vrednost. Drugim rečima, koje god [inlmath]x[/inlmath] da uzmeš iz intervala [inlmath]\left[2,6\right][/inlmath], važiće da je [inlmath]x^2[/inlmath] konačno i da je [inlmath]x^3[/inlmath] konačno.

U rješenju piše ovako [inlmath]0\le x^2\le 36[/inlmath] i [inlmath]-8\le x\le 216[/inlmath] valjda treba da bude [inlmath]0\le x^2\le 36[/inlmath] i [inlmath]-8\le x^3\le 216[/inlmath].Znači samo ova dva intervala su napisana i nema nikakovoga objašnjenja. Mada po mome sve je ovo odmah očigledno jer ne postoji nikakva prepreka mislim na logaritam,razlomak,eksponent...Tako da je odmah ako toga nema očigledo da funkcija neće imati beskonačnu vrijednost u tom intervalu.

Da, trebalo bi da piše [inlmath]-8\le x^3\le 216[/inlmath].
Obe funkcije su neprekidne na tom intervalu, pa i imaju konačnu vrednost.

Onda je greška u zbirci.Vidio sam odmah da nešto ne štima.

Evo naletio sam na par zadataka iz te iste zbirke i iste oblasti. Kako mi se čini izgleda da u njoj još ima grešaka.
Ovde kaže da su sledeće funkcije neograničene na intervalu od [inlmath](-1,1)[/inlmath] a po mome da je interval [inlmath][-1,1][/inlmath] tada bi to imalo smisla. Čak i kada pročitam ovu našu definiciju i ovu iz knjige koju su malo više zakomplikovali ali poenta je ista.Sada ne znam možda ja dovoljno i ne razumijem tu ograničenost.
[inlmath]f(x)=\frac{1}{x+1}[/inlmath] kaže da je neograničena
[inlmath]f(x)=\frac{1}{x^2-1}[/inlmath] kaže da je neograničena
[inlmath]f(x)=\frac{1}{x^2-4x+3}[/inlmath] kaže da je neograničena
[inlmath]f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}[/inlmath] kaže da je neograničena ali na skupu realnih brojeva ovo je drugi zadatak

Jesu neograničene na tim intervalima. Pogledajmo prvo funkciju [inlmath]f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}[/inlmath]. Po definiciji, funkcija je ograničena odozgo ako postoji takvo [inlmath]M[/inlmath] da za svako [inlmath]x[/inlmath] iz domena te funkcije važi [inlmath]f\left(x\right)\le M[/inlmath]. Možeš li mi reći takvo [inlmath]M[/inlmath] od kojeg će vrednost funkcije [inlmath]f(x)=\frac{1}{x+1}[/inlmath] na celom zadatom intervalu [inlmath]\left(-1,1\right)[/inlmath] biti manja? Ne možeš. Koliko god veliko [inlmath]M[/inlmath] da mi zadaš, ja uvek [inlmath]x[/inlmath] mogu toliko približiti vrednosti [inlmath]-1[/inlmath] (i time vrednost imenioca približiti nuli) tako da vrednost celog razlomka poraste preko tog [inlmath]M[/inlmath] koje si mi zadao.

Slično i za funkciju [inlmath]f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-1}[/inlmath], s tim što se za nju može pokazati da je neograničena odozdo (imenilac je na intervalu [inlmath]\left(-1,1\right)[/inlmath] uvek negativan).

Treću funkciju prepuštam tebi.

Kod poslednje funkcije, [inlmath]f\left(x\right)=\frac{x^3}{x^2+1}[/inlmath], imenilac je uvek veći od jedinice, što znači da je apsolutna vrednost funkcije uvek manja od [inlmath]\left|x^3\right|[/inlmath], a što znači da će na bilo kom konačnom intervalu i ova funkcija biti ograničena. Međutim, pošto ni limes u [inlmath]-\infty[/inlmath] ni limes u [inlmath]+\infty[/inlmath] ove funkcije nisu konačni, to znači da na celom skupu realnih brojeva ova funkcija nije ograničena.

Zbunila me je malo ona definicija sa konačnom vrijednosti.Ipak nisam u potpunosti razumio ograničenje. E što se tiče treće funkcije. Koliko sam ja skontao. Uvijek će biti pozitivna na intervalu [inlmath](-1,1)[/inlmath].Tako da se neće moći naći [inlmath]M[/inlmath] koje je veće of [inlmath]f(x)[/inlmath].Znači nije ograničena odozgo.A jeste odozdo ograničena. Ali uopšteno ova funkcija nije ograničena.U ovoj zadnjoj funkciji me malo zbunjuju ovi limesi.
Opšta definicija ograničenja iz zbirke:
Za funkciju [inlmath]f:\:A\rightarrow R\;(A\subseteq R)[/inlmath] kaže se da je ograničena odozgo(odnosno,ograničena odozdo) ako je takav skup njenih vrijednosti ,tj ako postoji takav realan broj [inlmath]M[/inlmath] da za svako [inlmath]x\in A[/inlmath] važi [inlmath]f(x)\le M[/inlmath] odnosno [inlmath](f(x)\ge M)[/inlmath].Ako je funkcija ograničena odozgo i odozdo,kaže se da je ograničena.
Kod ove definicije ne mogu da skontam šta znači ovaj zapis [inlmath]f:\:A\rightarrow R\;(A\subseteq R)[/inlmath] po nekoj mojoj logici da funkcija preslikava elemente iz skupa [inlmath]A[/inlmath] u skup [inlmath]R[/inlmath] (realnih brojeva) tako da je [inlmath]A[/inlmath] podskup skupa [inlmath]R[/inlmath]

Daniel je napisao:Po definiciji, funkcija je ograničena odozgo ako postoji takvo [inlmath]M[/inlmath] da za svako [inlmath]x[/inlmath] iz domena te funkcije važi [inlmath]x\le M[/inlmath].

Valjda treba ovde [inlmath]f(x)[/inlmath] a ne samo [inlmath]x[/inlmath]

Gamma je napisao:E što se tiče treće funkcije. Koliko sam ja skontao. Uvijek će biti pozitivna na intervalu [inlmath](-1,1)[/inlmath].Tako da se neće moći naći [inlmath]M[/inlmath] koje je veće of [inlmath]f(x)[/inlmath].Znači nije ograničena odozgo.A jeste odozdo ograničena.

Gamma je napisao:Za funkciju [inlmath]f:\:A\rightarrow R\;(A\subseteq R)[/inlmath] kaže se da je ograničena odozgo(odnosno,ograničena odozdo) ako je takav skup njenih vrijednosti ,tj ako postoji takav realan broj [inlmath]M[/inlmath] da za svako [inlmath]x\in A[/inlmath] važi [inlmath]f(x)\le M[/inlmath] odnosno [inlmath](f(x)\ge M)[/inlmath].Ako je funkcija ograničena odozgo i odozdo,kaže se da je ograničena.
Kod ove definicije ne mogu da skontam šta znači ovaj zapis [inlmath]f:\:A\rightarrow R\;(A\subseteq R)[/inlmath] po nekoj mojoj logici da funkcija preslikava elemente iz skupa [inlmath]A[/inlmath] u skup [inlmath]R[/inlmath] (realnih brojeva) tako da je [inlmath]A[/inlmath] podskup skupa [inlmath]R[/inlmath]

Tako je, [inlmath]A[/inlmath] predstavlja domen funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath].

Gamma je napisao:

Daniel je napisao:Po definiciji, funkcija je ograničena odozgo ako postoji takvo [inlmath]M[/inlmath] da za svako [inlmath]x[/inlmath] iz domena te funkcije važi [inlmath]x\le M[/inlmath].

Valjda treba ovde [inlmath]f(x)[/inlmath] a ne samo [inlmath]x[/inlmath]

Dabome, [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath]. Korigovao sam, hvala na ispravci.