Dokazati da su funkcije međusobno inverzne. Rješenja u zbirci nema baš taj zadatak je preskočen ne znam ni ja kako.Jedino što meni pada na pamet je da uzem neki proizvoljan broj iz tih intervala i uvrstim i ispitam to. Ali sigurno to nije dokaz. Koliko sam ja skonto dokaz se svodi na sve brojeve iz th skupova.
[dispmath]y=x^2-x+1[/dispmath][dispmath]x\in\left(\frac{1}{2},+\infty\right)[/dispmath]
[dispmath]y=\frac{1}{2}+\sqrt{x-\frac{3}{4}}[/dispmath][dispmath]x\in\left(\frac{3}{4},+\infty\right)[/dispmath]
Index stranica ‹ MATEMATIČKA ANALIZA ‹ FUNKCIJE
Dokazati da su funkcije inverzne
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 10 Posta
• Stranica 1 od 1
Re: Dokazati da su funkcije inverzne
od bobanex » Ponedeljak, 12. Januar 2015, 20:31
[dispmath]\left(\frac{1}{2}+\sqrt{x-\frac{3}{4}}\right)^2-\left(\frac{1}{2}+\sqrt{x-\frac{3}{4}}\right)+1=\\
\frac{1}{4}+\sqrt{x-\frac{3}{4}}+x-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}-\sqrt{x-\frac{3}{4}}+1=x[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{1}{4}}=\\
\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}+\left|x-\frac{1}{2}\right|=\\
\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}=x[/dispmath]
\frac{1}{4}+\sqrt{x-\frac{3}{4}}+x-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}-\sqrt{x-\frac{3}{4}}+1=x[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{1}{4}}=\\
\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}+\left|x-\frac{1}{2}\right|=\\
\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}=x[/dispmath]
- BANOVAN
- Postovi: 523
- Zahvalio se: 0 puta
- Pohvaljen: 505 puta
Re: Dokazati da su funkcije inverzne
od bobanex » Ponedeljak, 12. Januar 2015, 20:32
Ako je [inlmath]f\big(g(x)\big)=g\big(f(x)\big)=x[/inlmath] za sve [inlmath]x[/inlmath] onda su [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] međusobno inverzne.
- BANOVAN
- Postovi: 523
- Zahvalio se: 0 puta
- Pohvaljen: 505 puta
Re: Dokazati da su funkcije inverzne
od Gamma » Ponedeljak, 12. Januar 2015, 22:12
Dobro uopšteni dokaz za inverzne funkcije.Mene zbunjuje ovde prvi interval. Ne razumijem žašto ta funkcija mora biti u tome intervalu da bi imala inverznu funkciju. A ovaj drugi interval mi je jasan jer podkorjena veličina mora biti pozitivan broj.Ovde nije slučaj za svako [inlmath]x[/inlmath].
Re: Dokazati da su funkcije inverzne
od bobanex » Ponedeljak, 12. Januar 2015, 22:50
Imate apsolutnu vrednost na kraju pretposlednjeg reda koju sam sklonio jer je izraz pod njom pozitivan, [inlmath]x-\frac{1}{2}>0[/inlmath] tj. [inlmath]x>\frac{1}{2}[/inlmath] sto je upravo interval koji vas buni.
- BANOVAN
- Postovi: 523
- Zahvalio se: 0 puta
- Pohvaljen: 505 puta
Re: Dokazati da su funkcije inverzne
od Daniel » Ponedeljak, 12. Januar 2015, 23:12
A možeš to posmatrati i ovako. [inlmath]y=x^2-x+1[/inlmath] je kvadratna funkcija, a kvadratna funkcija, kao što znaš, nije injektivna. Čim nije injektivna, znači i da ne može imati inverznu funkciju. Međutim, ako posmatramo samo jedan krak te kvadratne funkcije, on sâm jeste injektivna funkcija, i za njega možemo naći inverznu funkciju.
[inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena kvadratne funkcije [inlmath]y=x^2-x+1[/inlmath] iznosila bi [inlmath]x_T=-\frac{-1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}[/inlmath], što znači da u intervalu [inlmath]\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)[/inlmath] imamo levi krak parabole, a u intervalu [inlmath]\left(\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath] desni krak parabole. Prema tome, uslovom [inlmath]x\in\left(\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath] rečeno nam je da posmatramo samo desni krak te parabole i da za njega tražimo inverznu funkciju.
[inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena kvadratne funkcije [inlmath]y=x^2-x+1[/inlmath] iznosila bi [inlmath]x_T=-\frac{-1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}[/inlmath], što znači da u intervalu [inlmath]\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)[/inlmath] imamo levi krak parabole, a u intervalu [inlmath]\left(\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath] desni krak parabole. Prema tome, uslovom [inlmath]x\in\left(\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath] rečeno nam je da posmatramo samo desni krak te parabole i da za njega tražimo inverznu funkciju.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Dokazati da su funkcije inverzne
od Gamma » Ponedeljak, 12. Januar 2015, 23:53
Jasno mi je sada.Daniele to je odgovor koji sam tražio.
Re: Dokazati da su funkcije inverzne
od Gamma » Utorak, 13. Januar 2015, 03:12
Evo da ne otvaram temu osto je još jedan zadatak iz poglavlja inverzne funkcije. U pitanju je 62 zadatak i Krugove zbirke 4.Uopšte nemam ideju kako da krenem sve treba svesti na jedno [inlmath]y[/inlmath] a uvijek imam dva.
Žnači treba dokazati da ova funkcija ima inverznu funkciji.Tj. naći inverznu funkciju.
[dispmath]y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/dispmath]
Žnači treba dokazati da ova funkcija ima inverznu funkciji.Tj. naći inverznu funkciju.
[dispmath]y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/dispmath]
Re: Dokazati da su funkcije inverzne
od bobanex » Utorak, 13. Januar 2015, 17:05
[dispmath]f\left(x\right)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\
f^{-1}\big(f\left(x\right)\big)=x\\
f^{-1}\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)=x\\
t=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^x-\frac{1}{e^x}}{2}=\frac{\frac{\left(e^x\right)^2-1}{e^x}}{2}=\frac{\left(e^x\right)^2-1}{2e^x}\\
e^x=s\\
t=\frac{s^2-1}{2s}\\
s^2-1=2st\\
s^2-2st-1=0\\
s=\frac{2t\pm\sqrt{4t^2+4}}{2}=\frac{2t\pm 2\sqrt{t^2+1}}{2}=t\pm\sqrt{t^2+1}\\
e^x=t+\sqrt{t^2+1}\\
x=\ln\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\\
f^{-1}\left(t\right)=\ln\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\\
f^{-1}\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)[/dispmath]
f^{-1}\big(f\left(x\right)\big)=x\\
f^{-1}\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)=x\\
t=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^x-\frac{1}{e^x}}{2}=\frac{\frac{\left(e^x\right)^2-1}{e^x}}{2}=\frac{\left(e^x\right)^2-1}{2e^x}\\
e^x=s\\
t=\frac{s^2-1}{2s}\\
s^2-1=2st\\
s^2-2st-1=0\\
s=\frac{2t\pm\sqrt{4t^2+4}}{2}=\frac{2t\pm 2\sqrt{t^2+1}}{2}=t\pm\sqrt{t^2+1}\\
e^x=t+\sqrt{t^2+1}\\
x=\ln\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\\
f^{-1}\left(t\right)=\ln\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\\
f^{-1}\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)[/dispmath]
- BANOVAN
- Postovi: 523
- Zahvalio se: 0 puta
- Pohvaljen: 505 puta
Re: Dokazati da su funkcije inverzne
od Gamma » Utorak, 13. Januar 2015, 18:22
Svaka čast. Veoma slična fora. Nikada mi ne bi pao na pamet ovaj način preko smjene. Sigurno se i ne može nikako drugačije uraditi.
10 Posta
• Stranica 1 od 1
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju