MATEMANIJA

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2013. – 4. razred

Radi se o jednome zadatku koji uopšte ne izgleda da je komplikovan po postupku po kojem je riješen. Ali ipak ja mislim da je taj postupak kojim su se služili u rješenju neispravan. Ja mislim da se periodičnost ne može zaključiti tako što uzmemo određene vrijednosti [inlmath]x[/inlmath] i za njih pronađemo [inlmath]f(x)[/inlmath]. I kada vidimo da se vrijednosti ponavljaju odjednom zaključimo da je [inlmath]T=4[/inlmath]. Barem ako se ponavljaju na tom nekom određenom intervalu ne znači da će se ponavljati uvijek. I to je ono što me muči.Rijetko sam se susreto s ovakvim oblikom zadane funkcije. Možda je caka negdje i u njemu.Zadatak je kratak.Mislim da bi najbolje bilo da neko kaže svoje mišljenje kako bi ga uradio.

Zadatak:
Zadana je funkcija [inlmath]f:\:N\to Q[/inlmath] za koju vrijedi [inlmath]f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}[/inlmath] za svaki [inlmath]x\in\mathbb{N}[/inlmath]. Ako je [inlmath]f(1)=2[/inlmath] odrediti [inlmath]f(2013)[/inlmath].

Rješenje:
1. Imamo [inlmath]f(1)=2;\;f(2)=-3;\;f(3)=-\frac{1}{2};\;f(4)=\frac{1}{3};\;f(5)=2;\;f(6)=-3;\;f(7)=-\frac{1}{2};\;f(8)=\frac{1}{3}[/inlmath];
2. Odaklen zaključujemo da vrijedi [inlmath]f(4+n)=f(n),\;n\in\mathbb{N}[/inlmath]
3. Dake. [inlmath]f(2013)=f(1)=2[/inlmath]

Zapravo, u ovom zadatku je moguće uraditi tako nešto, zbog toga što je funkcija definisana rekurzivno, tj. vrednost [inlmath]f(n)[/inlmath] za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] zavisi samo od vrednosti [inlmath]f(n-1)[/inlmath]. Dovoljno je samo da se jedna vrednost funkcije ponovi pa se i ceo niz ponavlja.

Evo (pokušaja) grafičkog prikaza:
[dispmath]\begin{array}{ccc}f(n) & \rightarrow & f(n+1) \\ \uparrow & & \downarrow \\ f(n+3) & \leftarrow & f(n+2) \\ \end{array}[/dispmath]

Jasno mi je sada. Upravo to je ono što sam tražio.Kada znam za tu rekuziju ovo ostalo je lako. Ne znam kako mi to nije palo na pamet radio sam rekuziju u programiranju.

Periodičnost je čak moguće pokazati i eksplicitno, bez određivanja pojedinačnih vrednosti funkcije:
[dispmath]f\left(4+n\right)=\frac{1+f\left(3+n\right)}{1-f\left(3+n\right)}=\frac{1+\frac{1+f\left(2+n\right)}{1-f\left(2+n\right)}}{1-\frac{1+f\left(2+n\right)}{1-f\left(2+n\right)}}=\frac{1-\cancel{f\left(2+n\right)}+1+\cancel{f\left(2+n\right)}}{\cancel1-f\left(2+n\right)-\cancel1-f\left(2+n\right)}=\frac{\cancel2}{-\cancel2f\left(2+n\right)}=\\
=-\frac{1}{f\left(2+n\right)}=-\frac{1}{\frac{1+f\left(1+n\right)}{1-f\left(1+n\right)}}=\frac{f\left(1+n\right)-1}{1+f\left(1+n\right)}=\frac{\frac{1+f\left(n\right)}{1-f\left(n\right)}-1}{1+\frac{1+f\left(n\right)}{1-f\left(n\right)}}=\frac{\cancel1+f\left(n\right)-\cancel1+f\left(n\right)}{1-\cancel{f\left(n\right)}+1+\cancel{f\left(n\right)}}=\frac{\cancel2f\left(n\right)}{\cancel2}=f\left(n\right)[/dispmath]
Odavde jedino sledi da vrednosti funkcije ne smeju biti [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath], zbog uslova da su imenioci razlomaka različiti od nule. To znači, periodičnost važi ne samo kada je [inlmath]f\left(1\right)=2[/inlmath], već kada [inlmath]f\left(1\right)[/inlmath] ima bilo koju vrednost koja nije [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath].

Ja sam mislio da to vrijedi samo kada je [inlmath]f(1)=2[/inlmath]. Ipak vidim da se periodičnost mora moći odrediti. I nije mi jasno kako se došlo preko uslova da imenioci moraju biti različiti od nule do toga da [inlmath]f(1)[/inlmath] ne smije biti[inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath]. Radio sam iz Krugove zbirke par ovakih zadataka na ovaj fazon ali uopšte nisam imo pojma da je to rekuzivna funkcija.Kad smo već kod ovoga da ne otvaram novu temu i nije mi baš najjasnija ta rekuzivna funkcija.Ali kada smo već tu kod rekuzivne funkcije mislio sam da otvaram posebno temu o njoj ali može se i ovde nešto rastumačiti.Ništa nisam mogo naći na forumu čak i na internetu malo detaljnije o toj rekuzivnoj funkciji.
E što se tiče rekuzije znam nešto malo. Radili smo nešto iz programiranja ali nešto sitno. Tamo je definicija rekuzivne funkcije da je to funkcija koja poziva samu sebe. Dok u matematici nikada se nisam sreo s rekuzivnom funkcijom. Po toj nekoj definicji to je funkcija koja sadrži samu sebe u toj prvobitnoj funkciji. Sada ne znam koliko je to sve tačno. A što se tiče ostalih stvari :čime je ta funkcija određena,kako znati kada je funkcija rekuzivna a kada nije,domen,kotdomen. To ništa ne razumijem.I nije mi jasna ta čitava priča oko periodičnosti(ponavljanja) funkcije kao niza.Mora li biti uvijek periodična?Ima li gdje kakav dokaz?

Kada imamo ovu funkciju [inlmath]f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}[/inlmath] može se to svesti na oblik [inlmath]f(x)=\frac{1+f(x-1)}{1-f(x-1)}[/inlmath]
Pitanje je kako uopšte znati da je ovo rekuzivna funkcija? Da li po tome zato što sama u sebi sadrži [inlmath]f(x-1)[/inlmath]? I koliko sam ja skonto svaka rekuzivna funkcija mora biti periodična. Ali evo primjera [inlmath]f(x)=f(x+)+1[/inlmath] kako god okrenem za bilo koje [inlmath]f(x)[/inlmath] nikako ne mogu da odredim periodičnost te funkcije. Uvijek su vrijednosti različite.

I, na osnovu čega si zaključio da rekurzivna funkcija mora biti periodična, kad si, evo, i sam našao kontraprimer iz kojeg vidiš da to ne mora uvek da važi?

ubavic je napisao:Dovoljno je samo da se jedna vrednost funkcije ponovi pa se i ceo niz ponavlja.

Nisam ovo protumačio u najboljem kontekstu.Ali izgleda po mome evo i za ovo kontraprimjera.[inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] [inlmath]f(x)=f(x+1)+1[/inlmath] [inlmath]f(1)=5,f(-3)=5[/inlmath] Eto sada npr. za [inlmath]f(0)=2,f(-2)=2[/inlmath] Periodičnost nije ni [inlmath]4[/inlmath] ni [inlmath]2[/inlmath].

Šta si to sad napisao? Ništa ja tu ne razumem. Da li je [inlmath]f\left(x\right)=x^2[/inlmath], ili je [inlmath]f\left(x\right)=f\left(x+1\right)+1[/inlmath]? Piši te izraze jedan ispod drugog, a ne ovako u jednom redu, jer je vrlo nepregledno i zbunjujuće.

Kao što sam već gore napiso uopšte ne znam čime je određena rekuzivna funkcija.Ja sam nju ovako nekako skonto.Znam da ti postavljam neka suluda pitanja.Ali to je nastalo usljed nerazumjevanja rekuzivne funkcije.Shvati ovo kao neke moje predpostavke za koje je velika vjerovatnoća da nisu tačne.
[inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] to je ta prvobitna funkcija
[inlmath]g(x)=f(x+1)+1[/inlmath] to je rekuzivna funkcija od prvobitne funkcije,samo sam sada stavio [inlmath]g[/inlmath] umjeo [inlmath]f[/inlmath]
I za ovu rekuzivnu funkciju koju sam računo preko prvobitne funkcije dobijem vrijednosti
[inlmath]g(1)=5\\
g(-3)=5\\
g(0)=2\\
g(-2)=2[/inlmath]

Zaboga, Gamma, stvarno...
Ne postoji nikakva pocetna funkcija. Postoji samo jedna jedina funkcija i pocetna vrednost te funkcije (npr. [inlmath]f(x)=n[/inlmath]).
Kod rekurzivnih funkcija vrednost [inlmath]f(x)[/inlmath] zavisi samo od vrednosti [inlmath]f(x-1)[/inlmath].
Ako je funkcija definisana rekurzivno to ne mora da znaci da ce biti periodicna. Evo primera neperiodicne rekurzivne funkcije:
[dispmath]f(x)=\begin{cases} 5, & x=1\\f(x-1)+1, & x\ne1 \end{cases}\quad x\in\mathbb{N}[/dispmath]
A evo primera periodicne rekurzivne funkcije:
[dispmath]f(x)=\begin{cases} 1, & x=1\\f(x-1)\times i, & x\ne1 \end{cases}\quad x\in\mathbb{N}[/dispmath]