MATEMANIJA

Pozdrav
Zadatak: Neka je [inlmath]a[/inlmath] pozitivan realan broj, i [inlmath]x_1,x_2[/inlmath] pozitivni realni brojevi veći od [inlmath]a[/inlmath], dokazati da je
[dispmath]\left|\ln{x_2\over{x_1}}\right|<\frac{|x_2-x_1|}{a}[/dispmath]
pokušao sam dokazati ali nešto baš ne štima...
Pretpostavimo najpre da je [inlmath]x_2>x_1[/inlmath]. S obzirom da za funkciju [inlmath]f(x)=\ln x[/inlmath] na intervalu [inlmath][x_1,x_2][/inlmath] vazi Lagranzova teorema te postoji neko [inlmath]c\in(x_1,x_2)[/inlmath] tako da je:
[dispmath]\left|f(x_2)-f(x_1)\right|=\left|f'(c)(x_2-x_1)\right|\leq q|x_2-x_1|[/dispmath]
gde [inlmath]q=\sup_x|f'(x)|<1[/inlmath].
Dakle,
[dispmath]\left|\ln x_2-\ln x_1\right|=\left|{1\over c}(x_2-x_1)\right|\leq q|x_2-x_1|\\
\left|\ln\frac{x_2}{x_1}\right|\leq q|x_2-x_1|[/dispmath]
i tu je negde odgovor al gde???
Ako mozete pomozite. Unapred hvala da vise ne Matematika je lepa al pravi

Prema postavljenom uslovu da je [inlmath]a[/inlmath] manje i od [inlmath]x_1[/inlmath] i od [inlmath]x_2[/inlmath], važiće za svako [inlmath]c[/inlmath] iz intervala [inlmath][x_1,x_2][/inlmath]:
[dispmath]c>a\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{c}<\frac{1}{a}[/dispmath][dispmath]\left|\ln x_2-\ln x_1\right|=\left|{1\over c}(x_2-x_1)\right|<\left|{1\over a}(x_2-x_1)\right|={1\over a}\left|x_2-x_1\right|[/dispmath][dispmath]\left|\ln x_2-\ln x_1\right|<\frac{\left|x_2-x_1\right|}{a}[/dispmath]
S obzirom na apsolutne vrednosti, ne bi trebalo da ima uticaja koje od [inlmath]x_1[/inlmath] ili [inlmath]x_2[/inlmath] je veće.
Sve pohvale za način na koji si postavio pitanje.

HVALA desideri
Extra ste. Preporuka SVIMA da se prijave na MATEMANIJU i sebi i drugima olakšaju slatke matematičke muke!!!