MATEMANIJA

Ako je [inlmath]y=\log_ax[/inlmath] i [inlmath]a>1[/inlmath], koji od sledećih iskaza je pogrešan?

[inlmath]A)[/inlmath] ako je [inlmath]x=1[/inlmath], tada je [inlmath]y=0[/inlmath]

[inlmath]B)[/inlmath] ako je [inlmath]x=a[/inlmath], tada je [inlmath]y=1[/inlmath]

[inlmath]C)[/inlmath] ako je [inlmath]x=-1[/inlmath], tada je [inlmath]y[/inlmath] imaginarno

[inlmath]D)[/inlmath] ako je [inlmath]0<x<1[/inlmath], tada je [inlmath]y<0[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] opada bez granice kada se približava nuli

[inlmath]E)[/inlmath] nijedan.

E sad, ako sam ja dobro upućen logaritamska funkcija je definisana za [inlmath]x\in(0,\infty)[/inlmath], što me je navelo da pomislim da je pogrešan iskaz pod [inlmath]C[/inlmath]. Ali, kao rešenje daje se odgovor pod [inlmath]E[/inlmath] uz objašnjenje:
"Obično se kaže da logaritam negativnog broja nije realan. Broj koji nije realan naziva se imaginaran, za razliku od kompleksnog broja koji može biti realan. Pojam imaginarnog broja ne treba mešati sa pojmom čisto imaginarnog broja, tj. kompleksnog broja čiji je realni deo jednak nuli."

Ako bi neko bio voljan da mi ovo pojasni? xD

Imaginaran broj je broj koji se nalazi na imaginaranoj osi. Znači apscia mu je [inlmath]0[/inlmath]. A kompleksan broj uvijek mora imati i realni i imaginarni dio. I odaklen je ovaj zadatak? Ne bi bilo loše kada postavljaš da napišeš nešto o njemu mislim porijeko itd...

Gamma je napisao:A kompleksan broj uvijek mora imati i realni i imaginarni dio.

Gamma, kompleksan broj je bilo koji broj koji se može predstaviti u kompleksnoj ravni. Realni deo mu može biti nula (tada je broj imaginaran), a takođe može imaginarni deo biti nula (tada je broj realan). To jest, skup realnih i skup imaginarnih brojeva su podskupovi skupa kompleksnih brojeva.

A što se tiče ove formulacije,

Ilija je napisao:"... Broj koji nije realan naziva se imaginaran, za razliku od kompleksnog broja koji može biti realan. Pojam imaginarnog broja ne treba mešati sa pojmom čisto imaginarnog broja..."

moram reći da je to i mene veoma začudilo, nisam dosad čuo za tu formulaciju. Ono što ja znam, to je da su nam tokom čitavog školovanja govorili da su imaginarni oni kompleksni brojevi kod kojih je realni deo jednak nuli (ili, što Gamma reče, broj koji se nalazi na imaginarnoj osi). Nije mi poznat taj pojam „čisto imaginarnog broja“...

I ja sam ostao u čudu kad sam pročitao ovo, pa reko da pitam.

Inače, je li moguć ovaj slučaj pod [inlmath]C[/inlmath] ako je [inlmath]x=−1[/inlmath], tada je [inlmath]y[/inlmath] imaginarno?

Jeste, tada je [inlmath]y[/inlmath] imaginarno (to jest, čisto imaginarno, kako je u tom zadatku navedeno).
[dispmath]-1=e^{i\left(2k+1\right)\pi}\quad\Rightarrow\quad\log_a\left(-1\right)=\log_ae^{i\left(2k+1\right)\pi}=i\left(2k+1\right)\pi\log_ae=\frac{\left(2k+1\right)\pi i}{\log_ea}=\frac{\left(2k+1\right)\pi}{\ln a}i[/dispmath]

Nisi mi odgovorio na pitanje. Odaklen potiče ova definicija?

Gamma, ovaj zadatak je iz knjige Zbirka rešenih zadataka iz matematike za pripremu prijemnih ispita na fakultetima, Dobrilo Đ. Tošić, Nina D. Stanković. Zadatak 10.44.

Ona gore "teorija" data je kao obrazloženje uz odgovor, a ko je to tako definisao nemam pojma. Verovatno, autori knjige.