MATEMANIJA

U ovoj temi će biti prikazane GIF-animacije promene grafika nekih često susretanih funkcija u zavisnosti od promene nekog odabranog parametra.

Sve animacije su urađene uz pomoć WinGCLC-a, odličnog programa čiji ga je autor, Predrag Janičić, nesebično ustupio za slobodno korišćenje u obrazovne svrhe. Hvala mu na tome.

LINEARNA FUNKCIJA:

Linearna funkcija [inlmath]y=kx+n[/inlmath] za fiksno [inlmath]n[/inlmath]


Primećujemo sledeće:

• s promenom koeficijenta pravca [inlmath]k[/inlmath], pravac ove linearne funkcije rotira;
• s linearnim porastom koeficijenta pravca [inlmath]k[/inlmath], brzina rotacije ovog pravca nije konstantna, već dostiže svoj maksimum kada je pravac paralelan [inlmath]x[/inlmath]-osi (tj. kada je [inlmath]k=0[/inlmath]), tako da preko horizontalnog položaja samo „preleti“, a minimum dostiže kada pravac teži paralelnosti s [inlmath]y[/inlmath]-osom (ali tu paralelnost s [inlmath]y[/inlmath]-osom nikad ne dostiže, tj. dostigao bi je tek kada bi [inlmath]k[/inlmath] otišlo u beskonačnost).
• pravac ove linearne funkcije uvek seče [inlmath]y[/inlmath]-osu u tački čija je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata određena slobodnim članom [inlmath]n[/inlmath] – u ovom slučaju [inlmath]2[/inlmath]; drugim rečima, izgleda kao da je taj pravac „zakucan“ u tačku [inlmath]\left(0,n\right)[/inlmath] i rotira oko te tačke.

---

Linearna funkcija [inlmath]y=kx+n[/inlmath] za fiksno [inlmath]k[/inlmath]


Primećujemo sledeće:

• nagib pravca ove linearne funkcije je uvek konstantan, što je i logično, budući da je nagib određen koeficijentom pravca [inlmath]k[/inlmath], koji je u ovom primeru konstantan;
• s linearnim porastom slobodnog člana [inlmath]n[/inlmath], pravac se translira konstantom brzinom;
• [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tačke preseka pravca i [inlmath]y[/inlmath]-ose uvek je jednaka trenutnoj vrednosti parametra [inlmath]n[/inlmath].

EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA:

Eksponencijalna funkcija [inlmath]y=a^x[/inlmath]


Primećujemo sledeće:

• kriva ove funkcije uvek seče [inlmath]y[/inlmath]-osu u tački [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath];
• funkcija može imati samo pozitivne vrednosti;
• za [inlmath]0<a<1[/inlmath] funkcija je opadajuća, za [inlmath]a=1[/inlmath] funkcija je konstanta i iznosi [inlmath]1[/inlmath], za [inlmath]a>1[/inlmath] funkcija je rastuća.

---

Logaritamska funkcija [inlmath]y=\log_a x[/inlmath]


Primećujemo sledeće:

• kriva ove funkcije uvek seče [inlmath]x[/inlmath]-osu u tački [inlmath]\left(1,0\right)[/inlmath];
• funkcija je definisana samo nad pozitivnim vrednostima;
• za [inlmath]a\le 0[/inlmath] funkcija nije definisana, za [inlmath]0<a<1[/inlmath] funkcija je opadajuća, za [inlmath]a=1[/inlmath] funkcija nije definisana (u animaciji vidimo da, dok [inlmath]a[/inlmath] prolazi kroz vrednost [inlmath]1[/inlmath], kriva funkcije na trenutak nestane), za [inlmath]a>1[/inlmath] funkcija je rastuća.

KVADRATNA FUNKCIJA:

Kvadratna funkcija [inlmath]y=ax^2[/inlmath]


Primećujemo sledeće:

• teme ove parabole je uvek u koordinatnom početku;
• za [inlmath]a<0[/inlmath] teme je okrenuto nagore, a kraci parabole nadole; s porastom [inlmath]a[/inlmath] kraci parabole se „šire“, da bi se za [inlmath]a=0[/inlmath] kraci parabole raširili u pravac koji se poklapa s [inlmath]x[/inlmath]-osom i tada je vrednost funkcije konstanta i iznosi [inlmath]0[/inlmath]; kako [inlmath]a[/inlmath] prelazi u pozitivne vrednosti i nastavalja dalje da raste, kraci parabole se sada „skupljaju“ prema gore, tako da je teme sada okrenuto nadole;
• s linearnom promenom parametra [inlmath]a[/inlmath], promena krive funkcije se odvija najbrže kada je [inlmath]a=0[/inlmath], tj. kraci parabole se iz negativnih vrednosti približavaju [inlmath]x[/inlmath]-osi sve brže i brže, zatim preko [inlmath]x[/inlmath]-ose samo „prelete“ i onda, kako se udaljavaju od [inlmath]x[/inlmath]-ose i počinju da se skupljaju, ponovo „usporavaju“.

---

Kvadratna funkcija [inlmath]y=ax^2+bx+c[/inlmath], ([inlmath]a[/inlmath] je promenljiv parametar)


Primećujemo sledeće:

• za [inlmath]a<0[/inlmath], isto kao i kod funkcije [inlmath]y=ax^2[/inlmath], teme je okrenuto nagore, a kraci parabole nadole; s porastom [inlmath]a[/inlmath] kraci parabole se „šire“ i „ispravljaju“, a teme se pomera ka gore desno (da je [inlmath]b<0[/inlmath] teme bi se pomeralo ka gore levo); za [inlmath]a=0[/inlmath] teme parabole je otišlo u beskonačnost, samim tim nam je vidljiv samo jedan krak parabole jer je onaj drugi krak, kao i teme, otišao u beskonačnost, a taj krak parabole koji nam je vidljiv „ispravio se“ u linearnu funkciju, što je i logično, budući da, kada je [inlmath]a=0[/inlmath], kvadratna funkcija se svodi na linearnu; s prelaskom parametra [inlmath]a[/inlmath] u pozitivne vrednosti i njegovim daljim porastom, teme parabole se opet pojavljuje, ali ovog puta iz suprotnog kraja od onog u kome je „nestalo“; kraci parabole se sada „skupljaju“ prema gore, tako da je teme sada okrenuto nadole;
• s linearnom promenom parametra [inlmath]a[/inlmath], promena krive funkcije se odvija najbrže kada je [inlmath]a=0[/inlmath], tj. kraci parabole se „ispravljaju“ ka linearnom pravcu sve brže i brže, zatim preko linearnog pravca samo „prelete“ i onda, kako se udaljavaju od tog linearnog pravca i počinju da se skupljaju, ponovo „usporavaju“;
• ova kriva uvek seče [inlmath]y[/inlmath]-osu u jednoj istoj tački, čija je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata jednaka slobodnom članu [inlmath]c[/inlmath], tako da izgleda kao da je kriva „prikovana“ za tačku [inlmath]\left(0,c\right)[/inlmath].

---

Kvadratna funkcija [inlmath]y=ax^2+bx+c[/inlmath], ([inlmath]b[/inlmath] je promenljiv parametar)


Primećujemo sledeće:

• s promenom parametra [inlmath]b[/inlmath] kriva ove funkcije ne menja svoj oblik (njen oblik zavisi isključivo od parametra [inlmath]a[/inlmath], koji je u ovom slučaju konstantan);
• s promenom parametra [inlmath]b[/inlmath] kriva ove funkcije se kreće translatorno, a svaka tačka na toj krivoj pri tom kretanju opisuje parabolu;
• za [inlmath]b=0[/inlmath] teme parabole se nalazi na [inlmath]y[/inlmath]-osi, tj. parabola je tada simetrična u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu; nule funkcije su tada jednake po apsolutnoj vrednosti, a suprotnog su znaka;
• kada parametar [inlmath]b[/inlmath] promeni znak a apsolutna vrednost mu ostane nepromenjena, tada i nule funkcije promene znak a apsolutne vrednosti im ostanu nepromenjene;
• ova kriva uvek seče [inlmath]y[/inlmath]-osu u jednoj istoj tački, čija je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata jednaka slobodnom članu [inlmath]c[/inlmath], tako da izgleda kao da se kriva pri toj svojoj translaciji „provlači“ kroz tačku [inlmath]\left(0,c\right)[/inlmath].

---

Kvadratna funkcija [inlmath]y=ax^2+bx+c[/inlmath], ([inlmath]c[/inlmath] je promenljiv parametar)


Primećujemo sledeće:

• s promenom parametra [inlmath]c[/inlmath] kriva ove funkcije takođe ne menja svoj oblik;
• s linearnom promenom parametra [inlmath]c[/inlmath] kriva ove funkcije se kreće translatorno nagore konstantnom brzinom;
• [inlmath]y[/inlmath]-koordinata preseka ove krive s [inlmath]y[/inlmath]-osom jednaka je trenutnoj vrednosti slobodnog člana [inlmath]c[/inlmath].