MATEMANIJA

Funkcija [inlmath]f:\:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/inlmath] definisana je sa [inlmath]f(x)=\sin^2x+6\cdot\sin x+16[/inlmath]. Najmanja vrednost funkcije [inlmath]f[/inlmath] je? Pokusala sam da uvedem smenu [inlmath]t[/inlmath] i da od toga nadjem prvi izvod, ali onda dobijam da je [inlmath]t=3[/inlmath] a sinus ne moze imati tu vrednost. Resenje je [inlmath]11[/inlmath]. Nadam se da neko moze da pomogne

A zasto je problem naci izvod? Dobijes [inlmath]2\sin x\cos x+6\cos x=y'[/inlmath] kada prvi izvod izjednacis sa nulom dobices dva rjesenja od kojeg jedno otpada, i na kraju ti ostane [inlmath]\cos x=0[/inlmath], opet imas dvije vrijednosti [inlmath]x[/inlmath] - za jednu ces dobiti maximum a za drugu minimum... nakon uvrstavanja tog minimuma dobices tacno rjesenje

Ne mozes praviti takve smjene, jer je i [inlmath]t[/inlmath] slozena funkcija, u ovom slucaju
[inlmath]y=t^2\\
y'=2t\cdot t'\\
t'=\cos x[/inlmath]

Uradila tacno, hvala puno!

Sinisa je napisao:i na kraju ti ostane [inlmath]\cos x=0[/inlmath], opet imas dvije vrijednosti [inlmath]x[/inlmath]

Kako samo dve vrednosti za [inlmath]\cos x=0[/inlmath]? Pa zar upravo ti stalno ne ponavljaš sebi kako ne treba posmatrati trigonometrijski krug, već trigonometrijsku funkciju? Dobije se beskonačno mnogo vrednosti za [inlmath]x[/inlmath].
Međutim, ako radimo na ovaj način, potrebno je prethodno prokomentarisati da je funkcija [inlmath]f\left(x\right)=\sin^2x+6\sin x+16[/inlmath] periodična i da joj je period [inlmath]2k\pi[/inlmath], što zaključujemo na osnovu toga što se [inlmath]x[/inlmath] u izrazu za ovu funkciju pojavljuje samo unutar sinusa, čiji je period [inlmath]2k\pi[/inlmath]. To znači da je dovoljno posmatrati samo minimalne vrednosti na intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right)[/inlmath] (ili na bilo kom intervalu [inlmath]\left[a,a+2\pi\right),\;a\in\mathbb{R}[/inlmath]) i to će biti minimalna vrednost i na celom domenu funkcije.
Tek kad se sve to naglasi, može se raditi na ovaj način koji si pokazao.

zlatna ribica je napisao:Pokusala sam da uvedem smenu [inlmath]t[/inlmath] i da od toga nadjem prvi izvod, ali onda dobijam da je [inlmath]t=3[/inlmath] a sinus ne moze imati tu vrednost.

Ne [inlmath]t=3[/inlmath], već [inlmath]t=-3[/inlmath].
Može se raditi i tako. Nacrtaš grafik (mada je dovoljno i da ga samo zamisliš),


i uočavaš da se teme funkcije nalazi levo od „dozvoljenog“ intervala [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath]. To znači, da će unutar „dozvoljenog“ intervala da se nađe desni krak parabole, a pošto je parabola okrenuta temenom prema dole, taj desni krak će predstavljati rastući deo funkcije. Iz toga sledi da će najmanju vrednost funkcija imati na levoj granici intervala, a najveću na desnoj (to se sve lepo vidi sa slike). Prema tome, najmanja vrednost funkcije biće
[dispmath]\left(-1\right)^2+6\left(-1\right)+16=11[/dispmath]