MATEMANIJA

Zadana je funkcija
[dispmath]f:\;\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\;f(x,y)=(2x-y,\;x-4y)[/dispmath]
Ispitati da li je funkcija bijekcija, i ako jeste naći inverznu.

Funkcija je bijekcija ako je injekcija i surjekcija. Za injekciju važi
[dispmath](\forall x_1,x_2\in A)f(x_1)=f(x_2)\;\Rightarrow\;x_1=x_2[/dispmath]
Kako pokazati injektivnost u ovom slučaju? Da li se uzimaju dva fiksirana elementa [inlmath](a,b)[/inlmath] takva da je
[dispmath]2x-y=a,\;x-4y=b[/dispmath]
Odavde je
[dispmath]x=\frac{4a-b}{7}[/dispmath]
i
[dispmath]y=\frac{a-2b}{7}[/dispmath]
Injekcija sledi jer su [inlmath]a,b[/inlmath] fiksirani.
Je li ovo tačno?
Za surjekciju važi
[dispmath](\forall y\in B)(\exists x\in A)y=f(x)[/dispmath]
Kako dokazati surjektivnost?
Inverzna funkcija bi trebala biti
[dispmath]f^{-1}:\;(a,b)\to\left(\frac{4a-b}{7},\frac{a-2b}{7}\right)[/dispmath]
Da li se može inverzna funkcija u ovom slučaju napisati u eksplicitnom obliku?

Hvala.

Ja bih ovako radio.
Prvo, pogledaj koji skup se u koji slika. Dakle, imamo skup uređenih dvojki koji se slika u takođe skup uređenih dvojki, pri čemu su realne koordinate.
Biramo dva proizvoljna elementa iz domena.
Neka su to [inlmath](a,b)[/inlmath] i [inlmath](c,d)[/inlmath].
Po definiciji injekcije, ako imamo jednake slike tada sledi da su i originali jednaki tj. [inlmath]f(a,b)=(2a-b,\;a-4b)[/inlmath] i [inlmath]f(c,d)=(2c-d,\;c-4d)[/inlmath]. Iz jednakosti
[dispmath](2a-b,\;a-4b)=(2c-d,\;c-4d)[/dispmath]
treba da dobijemo da su originali jednaki tj. [inlmath](a,b)=(c,d)[/inlmath]. Ako dobijemo da je tako, važi bijekcija.
Imamo, [inlmath]2a-b=2c-d[/inlmath] i [inlmath]a-4b=c-4d[/inlmath] tj. [inlmath]2(a-c)=b-d[/inlmath], iz ove druge [inlmath]a-c=4(b-d)[/inlmath]. Probaj dalje sam.

@Miladin Jovic Zaista, iz ovog tvog (strožijeg) pristupa se lako pokazuje injekcija. Nije mi jasno kako, bez dokazivanja surjekcije navodiš da funkcija jeste bijekcija?
Dakle, za injekciju važi
[dispmath]2(a-c)=b-d,\;a-c=4(b-d)[/dispmath]
Ako se uvede smena
[dispmath]a-c=u,\;b-d=t[/dispmath]
dobija se
[dispmath]2u=t,\;4t=u[/dispmath]
odakle su [inlmath]t=0,\;u=0[/inlmath]
pa je
[dispmath]a=c,\;b=d[/dispmath]
Sledi da je funkcija injekcija.

Za surjektivnost je valjda dovoljno uzeti jedan proizvoljni element iz domena, [inlmath](a,b)[/inlmath], za koji je
[dispmath]x=\frac{4a-b}{7},\;y=\frac{a-2b}{7}[/dispmath]
Odavde sledi surjekcija.

Miladin Jovic je napisao:Ako dobijemo da je tako, važi bijekcija.

Ovo sam greškom napisao, svakako je potrebno dokazati da je i "na" preslikavanje, a pod uslovom da je i "1-1" predlikavanje, možemo je nazvati bijekcijom.