MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=4x(1-x)\\
g(x)=x+\frac{1}{2}\\
h(x)=f\big(g(x)\big)[/dispmath]
Naci [inlmath]h(1)[/inlmath]

Prvo da resim [inlmath]f\big(g(x)\big)[/inlmath]
[dispmath]f\big(g(x)\big)=f\left(x+\frac{1}{2}\right)\\
x+\frac{1}{2}=t\\
x=t-\frac{1}{2}\\
x=\frac{2t-1}{2}[/dispmath]
Sada vratimo
[dispmath]f(t)=4\left(\frac{2t-1}{2}\right)\Bigg(1-\left(\frac{2t-1}{2}\right)\Bigg)\\
f(t)=(4t-2)\left(\frac{2-2t+1}{2}\right)\\
f(t)=(4t-2)\left(\frac{3-2t}{2}\right)\\
f(t)=\frac{12t-8t^2-6+4t}{2}\\
f(t)=\frac{-8t^2+16t-6}{2}\\
f(t)=-4t^2+8t-3[/dispmath]
I sada umesto [inlmath]t[/inlmath], idemo [inlmath]x[/inlmath]
[dispmath]f(x)=-4x^2+8x-3[/dispmath]
Pisao sam postupno ovaj deo, da bih video da nisam omasio negde [inlmath]-[/inlmath]

I na kraju
[dispmath]h(1)=-4(1)^2+8(1)-3\\
h(1)=-4+8-3\\
h(1)=1[/dispmath]
E to sam dobio kao resenje, a tacno resenje je [inlmath]-3[/inlmath], i nikako da uvidim gde gresim

Zasto si uvodio smenu? Ti vec imas [inlmath]f(x)[/inlmath], ako ti se trazi [inlmath]f\big(g(x)\big)[/inlmath] samo treba da promenis za svako [inlmath]x[/inlmath] da je jednako [inlmath]x+\frac{1}{2}[/inlmath], to je cela mudrolija. Drugo bi bilo da si dobio funkciju u obliku recimo [inlmath]f(x+4)[/inlmath] pa da treba da uvodis smenu, ali ovako nema potrebe.

Uopste ti ne treba smeta sa [inlmath]t[/inlmath]. Samo nadjes [inlmath]f\left(x+\frac{1}{2}\right)[/inlmath] i onda u to sto dobijes za [inlmath]x[/inlmath] zamenis [inlmath]1[/inlmath]

[dispmath]f(x)=4x(1-x)[/dispmath][dispmath]g(x)=x+\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]f\big(g(x)\big)=4\left(\frac{1}{2}+x\right)\left(1-\frac{1}{2}-x\right)=4\left(\frac{1}{2}+x\right)\left(\frac{1}{2}-x\right)[/dispmath]
[dispmath]f\big(g(x)\big)=4\left(\frac{1}{4}-x^2\right)=1-4x^2[/dispmath]
Sad kad smo uprostili, odnosno pronasli [inlmath]f\big(g(x)\big)[/inlmath], menjamo da je [inlmath]x=1[/inlmath]
[dispmath]h(1)=1-4=-3[/dispmath]

Ijao da, ja sam se prebacio, gledao sam kao da nemam [inlmath]f(x)[/inlmath], vec da je funkcionalna jednacina tipa [inlmath]f\left(\frac{x-3}{2+x}\right)[/inlmath]
Hvala obojici na brzim odgovorima

A kad si već uveo (nepotrebnu) smenu, onda ti je greška, konkretno, bila u ovom koraku:

Markoj96 je napisao:[dispmath]f(t)=4\left(\frac{2t-1}{2}\right)\Bigg(1-\left(\frac{2t-1}{2}\right)\Bigg)[/dispmath]

Ne. Ako je funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] data sa [inlmath]f\left(x\right)=4x\left(1-x\right)[/inlmath], onda ćeš i [inlmath]f\left(t\right)[/inlmath] dobiti samo tako što u izrazu za funkciju zameniš [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]t[/inlmath], znači,
[dispmath]f\left(t\right)=4t\left(1-t\right)[/dispmath]
a ne to što si ti napisao.