MATEMANIJA

Naci zbir najmanje i najvece vrednosti funkicje [inlmath]\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}[/inlmath] ?
Lako bih nasao da nije ovako razlomak...Koji je postupak u ovakvom slucaju?Hvala unapred

Prvi izvod funkcije iznosi:
[dispmath]f'\left(x\right)=-2{x^2-1\over\left(x^2-x+1\right)^2}[/dispmath]
Iz njega ces lako naci minimum i maksimum funkcije.

Minimum i maksimum funkcije su u stvari prevojne tacke funkcije. Kada nadjes prevojne tacke mozes odrediti sta je maksimum i minimum funkcije preko proizvoda. Necu ti sve postupno raditi, samo cu ti poslagati redom po krupnijim crtama, racunanje ces morati sam
Evo ovako, ovo je tvoja funkcija:
[dispmath]f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}[/dispmath]
Radi lakseg resavanja ja obelezim obe strane razlomka kao polinome [inlmath]A(x)[/inlmath] i [inlmath]B(x)[/inlmath]:
[inlmath]A(x)=x^2+x+1\\
B(x)=x^2-x+1[/inlmath]
Sada se radi izvod razlomka, odnosno:
[dispmath]f'(x)=\frac{A'(x)B(x)-B'(x)A(x)}{B^2(x)}[/dispmath]
Dobices razlomak. Moras da se uveris da donji deo razlomka nije jednak nuli, tako da mu samim tim nule i treba naci. On nula nema (bar po mom proracunu) tako da ce ti ostati da je gornji sabirak jednak nuli. Trebalo bi da dobijes nesto ovako:
[inlmath]2x^3-2x^2+2x+x^2-x+1-\left(2x^3+2x^2+2x-x^2-x-1\right)=0[/inlmath] odnosno:
[inlmath]-2x^2+2=0[/inlmath]
Dobices da su mu prevojne tacke u [inlmath]x[/inlmath] u stvari [inlmath]x_1=-1[/inlmath] i [inlmath]x_2=1[/inlmath]
Sad kad smo nasli vrednost [inlmath]x[/inlmath], vracamo ga u staru funkciju:
[dispmath]f(-1)=\frac{(-1)^2+(-1)+1}{(-1)^2-(-1)+1}=\frac{1}{3}[/dispmath]
i
[dispmath]f(1)=\frac{1+1+1}{1-1+1}=3[/dispmath]
Shodno tome maksimum i minimum funkcije ce biti u sledecim tackama:
[inlmath]A\left(-1,\frac{1}{3}\right)[/inlmath] i [inlmath]B(1,3)[/inlmath]
Ako uzmemo u obzir vrednost [inlmath]y[/inlmath], mozemo odrediti da ce maksimum biti u tacki [inlmath]B[/inlmath], a minimum u tacki [inlmath]A[/inlmath].

Evo i grafickog prikaza tvoje funkcije.

Jedna primedba:

kostur je napisao:Minimum i maksimum funkcije su u stvari prevojne tacke funkcije.

Minimum i maksimum su ekstremne vrednosti funkcije, ne prevojne tačke.
Prevojne tačke su one tačke u kojima funkcija prelazi s jedne strane svoje tangente na drugu ("previja" se) i traže se preko drugog izvoda.
A ovde se radi o ekstremnim vrednostima koje se traže preko prvog izvoda, kao što je pokazano u temi.

@desideri
Moja greska, radim mehanicki matematiku, ali ne razmisljam o tome sto pisem, evo sad citam i drzim se za glavu, boze sta sam pisao . Mozes li, molim te da mi editujes post, ja ne mogu vise?

@kostur,
naravno da mogu da editujem, evo ti kaži koju reč (ili rečenicu) na koju da ispravim, biće kako ti kažeš.

Moj predlog za transformaciju izraza radi lakšeg nalaženja prvog izvoda:
[dispmath]f\left(x\right)=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\frac{x^2-x+1+2x}{x^2-x+1}=\frac{x^2-x+1}{x^2-x+1}+\frac{2x}{x^2-x+1}=1+2\cdot\frac{x}{x^2-x+1}[/dispmath]
Funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] će imati maksimum onda kada izraz [inlmath]\frac{x}{x^2-x+1}[/inlmath] ima maksimum. Isto važi i za minimum.

Znači, dovoljno je samo naći prvi izvod izraza [inlmath]\frac{x}{x^2-x+1}[/inlmath] i naći [inlmath]x[/inlmath] za koje će on imati ekstremne vrednosti, a zatim dobijene vrednosti [inlmath]x[/inlmath] uvrstiti u izraz za funkciju radi određivanja vrednosti maksimuma i minimuma funkcije.