MATEMANIJA

pozdrav iz kroejše
evo, nek ovo bude tema za funkcije i gradivo prvog polugodišta 4. razreda
onako, za mene i sve ostale maturante koji su tu i koji će doći po pomoć


evo zadatak;
za koje [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath] funk. [inlmath]g\circ f[/inlmath] prima poz. vrijednosti na cijelom svom području [inlmath]f(x)=(a-1)x+2,\:g(x)=x^2-x+a[/inlmath]...
moj pokušaj;
http://s8.postimage.org/pibmjep2r/image.png

rj; [inlmath]a>\frac{1}{4}[/inlmath], Za [inlmath]a=1[/inlmath] je [inlmath](g\circ f)(x)=3>0[/inlmath]. [inlmath]\forall x\in D\;g\circ f=\mathbb{R}[/inlmath]

I tebi lep pozdrav iz Serbije i slobodno pozovi i sve ostale koji bi da se druže uz matu.

Pa, da krenemo:

Dobro si napisao da je
[dispmath]g\circ f\left(x\right)=\left[\left(a-1\right)x+2\right]^2-\left[\left(a-1\right)x+2\right]+a[/dispmath]
E sad, dalje ne bih razvijao ovo [inlmath]\left(a-1\right)[/inlmath], već bih ga, radi jednostavnosti, očuvao kao poseban faktor:
[dispmath]g\circ f\left(x\right)=\left(a-1\right)^2 x^2+4\left(a-1\right)x+4-\left(a-1\right)x-2+a\\
g\circ f\left(x\right)=\left(a-1\right)^2 x^2+3\left(a-1\right)x+\left(a+2\right)[/dispmath]
Nule ove funkcije (koje, prema uslovu zadatka, ne bi trebalo da postoje) bile bi:
[dispmath]x_{1,2}=\frac{-3\left(a-1\right)\pm\sqrt{9\left(a-1\right)^2-4\left(a-1\right)^2\left(a+2\right)}}{2\left(a-1\right)^2}[/dispmath]
Posle skraćivanja sa [inlmath]\left(a-1\right)[/inlmath]:
[dispmath]x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{9-4\left(a+2\right)}}{2\left(a-1\right)}[/dispmath]
[dispmath]x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{1-4a}}{2\left(a-1\right)}[/dispmath]
Pošto, po uslovu zadatka, [inlmath]\forall x[/inlmath] funkcija mora imati pozitivne vrednosti, to znači da ne sme imati presečne tačke s [inlmath]x[/inlmath]-osom, tj. mora biti [inlmath]D<0[/inlmath]:
[dispmath]1-4a<0\\
a>\frac{1}{4}[/dispmath]
(Negde si u računu pogrešio oko dobijanja vrednosti diskriminante, ali se dosta loše vidi... Pokušaću da nađem grešku, pa javljam...)

Da... Pogrešno si kvadrirao [inlmath]\left[ax-x+2\right]^2[/inlmath].
To ti je trinom na kvadrat i ne može se kvadrirati prostim kvadriranjem sabiraka, tj. ne dobija se [inlmath]a^2x^2-x^2+4[/inlmath], već mora da se napiše [inlmath]\left(ax-x+2\right)\cdot\left(ax-x+2\right)[/inlmath] pa sve lepo da se izmnoži, svaki sa svakim...

Dopuna rešenju:

Funkcija
[dispmath]g\circ f\left(x\right)=\left(a-1\right)^2 x^2+3\left(a-1\right)x+\left(a+2\right)[/dispmath]
može biti ili kvadratna ili linearna.

1) Kvadratna će biti kada je član uz [inlmath]x^2[/inlmath] različit od nule. U našem slučaju, pošto je član uz [inlmath]x^2[/inlmath] neki broj dignut na kvadrat, on, ako nije nula, može biti samo pozitivan, a to znači da će teme kvadratne funkcije biti okrenuto nadole, pa ako funkcija nema presečne tačke s [inlmath]x[/inlmath]-osom, tada će [inlmath]\forall x[/inlmath] njene vrednosti biti pozitivne.

2) Linearna će biti kada je član uz [inlmath]x^2[/inlmath] jednak nuli, a to se u našem slučaju dešava za [inlmath]a=1[/inlmath]. Tada funkcija postaje [inlmath]g\circ f\left(x\right)=3[/inlmath], tj. ima oblik linije paralelne [inlmath]x[/inlmath]-osi (tj. horizontalne) i, takođe, uvek ima pozitivnu vrednost, [inlmath]3[/inlmath].

hvala ti puno!
malo sam fasciniran sad
Sljedeći tjedan nova tura ;P

Nema na čemu. I samo napred!