MATEMANIJA

U zadatku se traži određivanje područja definicije.
[dispmath]z(x,y)=\frac{\sqrt{y^2-4x}}{\ln\left(x^2+y^2-1\right)}[/dispmath]

U formuli imaš grešku, nedostaje ti zatvorena zagrada u imeniocu, tako da ne mogu najpreciznije da vidim šta je u argumentu logaritma.
Zasad, mogu da odredim uslov definisanosti na osnovu potkorene veličine:
[dispmath]y^2-4x\ge 0\quad\Rightarrow\quad y^2\ge 4x\quad\Rightarrow\quad x\le\frac{1}{4}\:y^2[/dispmath]
Ovo predstavlja oblast levo od parabole [inlmath]x=\frac{1}{4}\:y^2[/inlmath] (na slici obeleženo žućkasto) ali, zbog znaka [inlmath]\le[/inlmath], takođe i oblast na samoj paraboli (na slici crveno).


Ajd ispravi to što treba, pa da vidimo i za taj logaritam...

Ispravljeno To bi, ako se ne varam, trebale biti dvije kružnice.

Ja vidim jednu kružnicu, ne znam koja je druga?
Pošto argument logaritma mora biti strogo veći od nule:
[dispmath]x^2+y^2-1>0\quad\Rightarrow\quad x^2+y^2>1[/dispmath]
a to predstavlja oblast izvan kružnice [inlmath]x^2+y^2=1[/inlmath], ne uključujući i samu kružnicu (zbog znaka stroge nejednakosti).
I onda presek te oblasti i one oblasti koju sam skicirao u prethodnom postu (levo od parabole) predstavlja oblast definisanosti cele funkcije.

Identičan zadatak je na sljedećem linku pod d)
http://lavica.fesb.hr/mat2/vjezbe/node30.html

Potpuno zaboravih na uslov da imenilac mora biti različit od nule... Sorry.
Dakle, [inlmath]x^2+y^2\ne 2[/inlmath] kao treći uslov.

Ok, samo nije mi baš najjasnije ovo rješenje njihovo.



Zbog čega je u rješenju i ova mala kružnica cijela (ne i rubovi jer u uvjetu ne stoji jednako)? ako je ta kružnica [inlmath]x^2+y^2>1[/inlmath], zar to nije izvan te kružnice? Zbog čega je obojano i unutar nje?

I zbog čega je tebi obojano područje lijevo od parabole, a njima desno?


Sljedeći
[dispmath]z(x,y)=\sqrt{y\sin x}[/dispmath]

Čista stvar označavanja – ja sam žućkastom bojom označio oblast u kojoj funkcija jeste definisana, a oni su žućkastom bojom označili oblast u kojoj funkcija nije definisana. Mada meni ovaj prvi (moj) način izgleda logičnije budući da se traži oblast definisanosti a ne oblast nedefinisanosti, u principu je svejedno, pod uslovom da se tačno naglasi šta obojena oblast predstavlja. Da ne bih unosio zabunu, ubuduće ću i ja raditi kao oni – bojiću oblast u kojoj funkcija nije definisana.
I vidim da su u njihovom rešenju linije u kojima funkcija nije definisana označene isprekidano, a linije u kojima je funkcija definisana označene puno. Dobra ideja, crtaću i ja tako.

Funkcija
[dispmath]z\left(x,y\right)=\sqrt{y\sin x}[/dispmath]
definisana je kada potkorena veličina nije negativna:
[dispmath]y\sin x\ge 0[/dispmath][dispmath]\left(y\ge 0\;\land\;\sin x\ge 0\right)\;\lor\;\left(y\le 0\;\land\;\sin x\le 0\right)[/dispmath][dispmath]\left(y\ge 0\;\land\;2k\pi\le x\le\pi+2k\pi\right)\;\lor\;\left(y\le 0\;\land\;-\pi+2k\pi\le x\le 2k\pi\right)[/dispmath]
Evo slike, s tim da, opet naglašavam, sada sam žućkastom bojio oblast u kojoj funkcija nije definisana, kako bi bilo usklađeno sa crtežima na tom sajtu koji si linkovao.

Uh, nemoj, nemoj, osim ako baš imaš potrebu prilagoditi im se. Ali ja ne bih iz jednostavnog razloga što mi je logičnije da je osjenčeno ono što je u domeni funkcije. Tako smo radili do sada i ne vidim razloga da ne bude i ubuduće jer je tako u svoj literaturi, osim, evo sada ispada, na onom linku, iako je i tamo bilo drukčije u dijelu gradiva...

Druga stvar, nije mi najjasniji ovaj crtež za drugi zadatak sa [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]\sin x[/inlmath]. Možeš li mi nekako objasniti zašto su baš ovi neosjenčeni djelovi u domeni? Jasno mi je i da je manje od [inlmath]0[/inlmath] zbog ipsilona, ali mi nije jasno ovo gore-dole-gore-dole. Po kojem kriteriju? Možda je banalnost (vjerojatno je) i sigurno ću se lako podsjetiti ako sam to znao...

Evo još jednog zadatka koji malo stvara zbunjozu:
[dispmath]z(x,y)=\ln(x\ln(y-x))[/dispmath]

eseper je napisao:Uh, nemoj, nemoj, osim ako baš imaš potrebu prilagoditi im se. Ali ja ne bih iz jednostavnog razloga što mi je logičnije da je osjenčeno ono što je u domeni funkcije. Tako smo radili do sada i ne vidim razloga da ne bude i ubuduće jer je tako u svoj literaturi, osim, evo sada ispada, na onom linku, iako je i tamo bilo drukčije u dijelu gradiva...

OK, dogovoreno, onda, ubuduće senčim ono što jeste domen. Kao što napisah, i meni tako jeste logičnije. Ovaj prethodni zadatak je, dakle, bio jedini u kojem sam to činio obrnuto.

eseper je napisao:Druga stvar, nije mi najjasniji ovaj crtež za drugi zadatak sa [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]\sin x[/inlmath]. Možeš li mi nekako objasniti zašto su baš ovi neosjenčeni djelovi u domeni? Jasno mi je i da je manje od [inlmath]0[/inlmath] zbog ipsilona, ali mi nije jasno ovo gore-dole-gore-dole. Po kojem kriteriju? Možda je banalnost (vjerojatno je) i sigurno ću se lako podsjetiti ako sam to znao...

Po kriterijumu periodičnosti sinusne funkcije. Posmatraj onaj poslednji izraz koji sam dobio rešavajući nejednakost:
[dispmath]\left(y\ge 0\;\land\;2k\pi\le x\le\pi+2k\pi\right)\;\lor\;\left(y\le 0\;\land\;-\pi+2k\pi\le x\le 2k\pi\right)[/dispmath]
Znači, kada je [inlmath]y[/inlmath] veće ili jednako nuli, tada [inlmath]x[/inlmath] mora biti između [inlmath]2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\pi+2k\pi[/inlmath], kako bi funkcija bila definisana.
Drugim rečima, kada je [inlmath]y[/inlmath] veće ili jednako nuli, tada [inlmath]x[/inlmath] mora biti ili između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath], ili između [inlmath]2\pi[/inlmath] i [inlmath]3\pi[/inlmath], ili između [inlmath]4\pi[/inlmath] i [inlmath]5\pi[/inlmath], ili... itd.
Tako smo dobili neosenčene delove iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose (tj. kada je [inlmath]y\ge 0[/inlmath])

Slična priča i kada je [inlmath]y\le 0[/inlmath] (sad posmatramo izraz u onoj desnoj zagradi).
Za [inlmath]y\le 0[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] mora biti između [inlmath]-\pi+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]2k\pi[/inlmath], tj. mora biti između [inlmath]-\pi[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath], ili između [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath], ili između [inlmath]3\pi[/inlmath] i [inlmath]4\pi[/inlmath], ili... itd.
Tako smo dobili neosenčene delove ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose (tj. kada je [inlmath]y\le 0[/inlmath])

eseper je napisao:Evo još jednog zadatka koji malo stvara zbunjozu:
[dispmath]z(x,y)=\ln(x\ln(y-x))[/dispmath]

Prvo, pošto je [inlmath]\left(y-x\right)[/inlmath] u argumentu jednog od ova dva logaritma, taj izraz mora biti strogo veći od nule:
[dispmath]y-x>0\\
y>x[/dispmath]
A drugo, pošto je [inlmath]xln\left(y-x\right)[/inlmath] u argumentu drugog logaritma, onda taj izraz, takođe, mora biti strogo veći od nule:
[dispmath]x\ln\left(y-x\right)>0[/dispmath]
Pošto je u pitanju proizvod, razmatramo posebne slučajeve za njegove činioce:
[dispmath]\left[\:x>0\;\land\;\ln\left(y-x\right)>0\:\right]\quad\lor\quad\left[\:x<0\;\land\;\ln\left(y-x\right)<0\:\right][/dispmath][dispmath]\left(\:x>0\;\land\;y-x>1\:\right)\quad\lor\quad\left(\:x<0\;\land\;y-x<1\:\right)[/dispmath][dispmath]\left(\:x>0\;\land\;y>x+1\:\right)\quad\lor\quad\left(\:x<0\;\land\;y<x+1\:\right)[/dispmath]
Prvom uslovu, [inlmath]y>x[/inlmath] odgovarao bi deo grafika iznad pravca [inlmath]y=x[/inlmath], a ovom drugom uslovu bi odgovarao grafik desno od [inlmath]y[/inlmath]-ose a iznad pravca [inlmath]y=x+1[/inlmath], kao i levo od [inlmath]y[/inlmath]-ose a ispod pravca [inlmath]y=x+1[/inlmath]. Funkcija je definisana u oblastima u kojima su zadovoljeni i prvi i drugi uslov, tj. u oblastima koje predstavljaju presek prvog i drugog uslova.