MATEMANIJA

Zdravo! Imam jednu teoremu koja mi nikako nije jasna. Kaze:

[inlmath]f\in\mathcal{R}[0,+\infty)[/inlmath], tj nesvojstveno integrabilna na datom intervalu. Ako je [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=l[/inlmath], gde je [inlmath]l[/inlmath] realan broj, onda sledi [inlmath]l=0[/inlmath]

Kako sam ja ukapirala, limes ili je beskonacan ili nula. E sad, sta je sa konstantnom funkcijom? Npr [inlmath]f(x)=c[/inlmath]? Njoj je limes [inlmath]c[/inlmath] sto moze biti bilo koji broj. A jeste integrabilna. Kako to onda? Gde gresim, sta sam pogresno razumela?

Molim te da dodefinišeš iskaz teoreme. Ne može tj da stoji u iskazu teoreme.
Jedino što ja zaključujem iz ovog tvog je:
Ako funkcija ide od nule (uključujući nulu) do plus beskonačnosti (ne uključujući plus beskonačnost) onda je ta funkcija nesvojstveno integrabilna.
Prvo potpitanje: šta znači "nesvojstveno integrabilna"? Imam predstavu o tome i znam neke teoreme, no ova tvoja nije dobro iskazana.
Drugo potpitanje: ako funkcija ima horizontalnu asimptotu [inlmath]l=0[/inlmath] da li je onda "nesvojstveno integrabilna"?
Molim te da dodefinišeš, da tačno iskažeš teoremu i doslovno tačno pa odgovaramo.

Evo ovako. Prvo, izvinjavam se na ne bas dobro definisanom pitanju, drugo, profesor nam je nesvojstveno integrabilnu funkciju ovako definisao:
[dispmath]f\in\mathcal{R}[a,+\infty):=\{f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}:\;\forall b>a\enspace f\in\mathcal{R}[a,b]\}[/dispmath]
a [inlmath]f\in\mathcal{R}[a,b][/inlmath] znaci da je Riemann integrabilna na [inlmath][a,b][/inlmath]

I onda je dao zadatak da se dokaze teorema:
[dispmath]f\in\mathcal{R}[a,+\infty),\;\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=l\in\mathbb{R}\;\Rightarrow\;l=0[/dispmath]
Ja se nadam da sam bila jasnija ovaj put, sad sam doslovce prepisala.

Da li si bas 100% sigurna da je profesor tako definisao prostor [inlmath]\mathcal{R}[a,+\infty)[/inlmath]? Jer ja nesto i nisam, posto se obicno sem toga sto si vec napisala dodaje i uslov da postoji [inlmath]\displaystyle\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx[/inlmath].

Da, dodao je na to da ukoliko postoji [inlmath]\lim\limits_{b\to+\infty}\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=l\in\mathbb{R}[/inlmath] kaze se da integral konvergira, ukoliko je [inlmath]l=\infty[/inlmath] onda integral nesvojstveno konvergira, i ukoliko limes ne postoji onda integral ne konvergira.

Ali meni to sve i dalje se ne poklapa sa datom teoremom. Mislim, ne moram ja nju da dokazem, zelim samo na razumem zasto je to tako.