MATEMANIJA

Funkcija [inlmath]f:\:R\to R[/inlmath] zadata je za [inlmath]f(x)=|x+1|+|2x+4|+ 4x[/inlmath]. Vrednost izraza [inlmath]f^{-1}(-7)+f^{-1}(-2)+f^{-1}(5)[/inlmath] je:
e sad.. za pocetak tj nazovimo prvi slucaj, samo "sklonim" zagrade i sve ostane pozitivno [inlmath]f(x)=7x+5[/inlmath]
i odatle inverzna funkcija [inlmath]f^{-1}:\;\frac{y-5}{7}=x[/inlmath], ali ostaju jos dva slucaja tako da ne znam iz kojih da racunam inverzne funkcije, nemam neku ideju za ovaj zadatak

Imas li resenje zadatka - konacno?

vrednost izraza je [inlmath]-3[/inlmath]

Zapravo, imas jos dva slucaja. Prvi koji si naveo vazi za [inlmath]x>-1[/inlmath], njega koristis za [inlmath]f^{-1}(5)[/inlmath], zato sto je [inlmath]5>-1[/inlmath]. 2. Slucaj je [inlmath]-1>x\ge-2[/inlmath], tada je prva apsolutna zagrada negativna, a druga pozitivna, njega koristis za [inlmath]f^{-1}(-2)[/inlmath], zato sto [inlmath]-2=-2[/inlmath]. 3. Slucaj je [inlmath]x<-2[/inlmath], tada su obe apsolutne zagrade negativne, njega koristis za [inlmath]f^{-1}(-7)[/inlmath], zato sto [inlmath]-7<-2[/inlmath]. Inverznu funkciju za 1. slucaj si nasao, a za 2. i 3. je napisao Ilija.

Moze li ovako? Naravno uz definisane apsolutne vrednosti, sledice:

• Za [inlmath]x=-7[/inlmath], funkcija ce biti
  [dispmath]f(x)=-x-1-2x-4+4x=x-5\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(x)=x+5\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(-7)=-2[/dispmath]
• Za [inlmath]x=-2[/inlmath], funkcija ce biti
  [dispmath]f(x)=-x-1+2x+4+4x=5x+3\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(x)=\frac{x-3}{5}\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(-2)=-1[/dispmath]
• Za [inlmath]x=5[/inlmath], funkcija ce biti
  [dispmath]f(x)=x+1+2x+4+4x=7x+5\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(x)=\frac{x-5}{7}\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(5)=0[/dispmath]

Pa ce zbir ova tri iznositi [inlmath]-3[/inlmath].

upravo počinjem kucati isto što i @pentagram142857 kad stiže odgovor, pa da se ne ponavljam

pentagram142857 je napisao:[inlmath]−2<=x<−1[/inlmath]

samo ovdje treba [inlmath]−2\le x<−1[/inlmath], za [inlmath]\le[/inlmath] opcija je \le, a za [inlmath]\ge[/inlmath] ide \ge

@Ilija , moze itekako ..vrlo prosto resenje, svaka cast

Nisam baš siguran u ispravnost postupka kojim ste radili, iako se na kraju dobije ispravan rezultat.

Možete li da, istim rezonom, uradite sledeći sličan zadatak (sâm sam smislio brojne vrednosti)?

Funkcija glasi [inlmath]f\left(x\right)=\left|2x+6\right|+3x-2[/inlmath]. Treba odrediti [inlmath]f^{-1}\left(-6\right)+f^{-1}\left(4\right)[/inlmath].
Rezultat koji treba da se dobije je [inlmath]-2[/inlmath].

Mojim nacinom rada, ocito pogresnim, dobija se sledece:

• Za [inlmath]x=-6[/inlmath], funkcija ce biti:
  [dispmath]f(x)=-2x-6+3x-2=x-8\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(x)=x+8\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(-6)=2[/dispmath]
• Za [inlmath]x=4[/inlmath], funkcija ce biti:
  [dispmath]f(x)=2x+6+3x-2=5x+4\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(x)=\frac{x-4}{5}\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(4)=0[/dispmath]

Pa ce zbir biti [inlmath]f^{-1}(-6)+f^{-1}(4)=2+0=2[/inlmath], a ne [inlmath]-2[/inlmath], kako bi trebalo.

Ilija je napisao:[dispmath]\cdots\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(-6)=2[/dispmath]

Ako je [inlmath]f^{-1}\left(-6\right)=2[/inlmath], onda bi moralo biti [inlmath]f\left(2\right)=-6[/inlmath], zar ne?
E sad, da li je [inlmath]f\left(2\right)=-6[/inlmath]?

Daniel je napisao:Nisam baš siguran u ispravnost postupka kojim ste radili, iako se na kraju dobije ispravan rezultat.

Možete li da, istim rezonom, uradite sledeći sličan zadatak (sâm sam smislio brojne vrednosti)?

Funkcija glasi [inlmath]f\left(x\right)=\left|2x+6\right|+3x-2[/inlmath]. Treba odrediti [inlmath]f^{-1}\left(-6\right)+f^{-1}\left(4\right)[/inlmath].
Rezultat koji treba da se dobije je [inlmath]-2[/inlmath].

Pitanje se nije odnosilo na mene (bar ne direktno), ali cu se ipak umesati. Evo, ovako bih ja rezonovao: prvo, zapisimo funkciju [inlmath]f[/inlmath] kao
[dispmath]f(x)=\begin{cases} 5x+4, & x\ge-3\\ x-8, & x<-3.\end{cases}[/dispmath]
Dobro, sad takodje primetimo da za [inlmath]x\ge-3[/inlmath] vrednosti od [inlmath]5x+4[/inlmath] pripadaju [inlmath][-11,+\infty)[/inlmath], dok za [inlmath]x<-3[/inlmath] vrednosti od [inlmath]x-8[/inlmath] pripadaju [inlmath](-\infty,-11)[/inlmath].

I sada, kako [inlmath]-6\in[-11,+\infty)[/inlmath], to cemo [inlmath]f^{-1}(-6)[/inlmath] dobiti kada potrazimo inverznu funkciju od [inlmath]5x+4[/inlmath] i ubacimo [inlmath]-6[/inlmath], odnosno, [inlmath]f^{-1}(-6)=\displaystyle\frac{-6-4}{5}=-2[/inlmath], dok slicno dobijamo [inlmath]f^{-1}(4)=\displaystyle\frac{4-4}{5}=0[/inlmath] (jer [inlmath]4\in[-11,+\infty)[/inlmath], te je tu ista inverzna funkcija). Naravno, sad je ostao jos najtezi deo, a to je da je [inlmath]-2+0=-2[/inlmath] (to za domaci).

EDIT: ovim svojim postom sam odveo temu na novu stranu, pa da samo skrenem paznju da je pre ovog mog posta Daniel imao jedan svoj novi post.

Onomatopeja je napisao:Naravno, sad je ostao jos najtezi deo, a to je da je [inlmath]-2+0=-2[/inlmath] (to za domaci).

Ova ti je dobra!

Znaci, uslovi za JohnLokeov zadatak su:
[dispmath]x>-2[/dispmath][dispmath]-2\ge x>-7[/dispmath][dispmath]x\le-7[/dispmath]
Ovo se odnosi na [inlmath]x[/inlmath] inverzne funkcije, a ono sto smo Ilija i ja napisali se odnosi na [inlmath]y[/inlmath] inverzne funkcije.

Gospodo, moze neko detaljno da mi razjasni moj primer, zasto su ti uslovi kao sto je pentagram naveo
Izvinjavam se izgleda da mi ne idu funkcije..

Znaci imamo funkcju [inlmath]f(x)=|x+1|+|2x+4|+4x[/inlmath].

Apsolutne vrednosti su:
[dispmath]|x+1|=\begin{cases}
x+1, & x\ge -1\\
-x-1, & x<-1.
\end{cases}\\
|2x+4|=\begin{cases}
2x+4, & x\ge-2\\
-2x-4, & x<-2.
\end{cases}[/dispmath]

---

I sad imamo tri slucaja:

[inlmath]1)\enspace x<-2[/inlmath] gde ce funkcija biti [inlmath]f(x)=-x-1-2x-4+4x=x-5[/inlmath] cije vrednosi pripadaju [inlmath]x\in(-\infty,-7)[/inlmath].

[inlmath]2)\enspace-2\le x<-1[/inlmath] gde ce funkcija biti [inlmath]f(x)=-x-1+2x+4+4x=5x+3[/inlmath] cije vrednosi pripadaju [inlmath]x\in[-7,-2)[/inlmath].

[inlmath]3)\enspace x\ge-1[/inlmath] gde ce funkcija biti [inlmath]f(x)=x+1+2x+4+4x=7x+5[/inlmath] cije vrednosi pripadaju [inlmath]x\in[-2,+\infty)[/inlmath].

---

Za [inlmath]x=-7[/inlmath], koristicemo funkciju [inlmath]f(x)=5x+3[/inlmath], jer [inlmath]x=-7\in[-7,-2)[/inlmath], odnosno njenu inverznu [inlmath]f^{-1}=\frac{x-3}{5}[/inlmath], pa ce vrednost inverzne funkcije biti [inlmath]-2[/inlmath].

Sad, isto tako i za ostala dva slucaja.

OK, znači, videli ste gde je bila greška – poistovećivali ste [inlmath]x[/inlmath] iz [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath] iz [inlmath]f^{-1}\left(x\right)[/inlmath], iako su to, zapravo, različiti [inlmath]x[/inlmath]-evi. Ne treba ih mešati.

Postoji još načina da se ovaj zadatak uradi. Jedan je, da se pri traženju [inlmath]f^{-1}\left(-7\right)[/inlmath] postavi jednačina [inlmath]f\left(x\right)=-7[/inlmath], pri čemu će rešenje po [inlmath]x[/inlmath] predstavljati, zapravo [inlmath]f^{-1}\left(-7\right)[/inlmath] (da li je ovo jasno zašto)? Dakle,
[dispmath]\left|x+1\right|+\left|2x+4\right|+4x=-7[/dispmath]
Pa sad odvojeno razmatramo slučajeve:

• [inlmath]x<-2\quad\Rightarrow\quad-x-1-2x-4+4x=-7\quad\Rightarrow\quad x-5=-7\quad\Rightarrow\quad\cancel{x=-2}[/inlmath] (ne zadovoljava uslov ovog slučaja);
• [inlmath]-2\le x<-1\quad\Rightarrow\quad-x-1+2x+4+4x=-7\quad\Rightarrow\quad5x+3=-7\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{x=-2}[/inlmath] (zadovoljava uslov ovog slučaja);
• [inlmath]x\ge-1\quad\Rightarrow\quad x+1+2x+4+4x=-7\quad\Rightarrow\quad7x+5=-7\quad\Rightarrow\quad\cancel{x=-\frac{12}{7}}[/inlmath] (ne zadovoljava uslov ovog slučaja).

[inlmath]\Rightarrow\quad\enclose{box}{f^{-1}\left(-7\right)=-2}[/inlmath]

Na isti način se odrede i [inlmath]f^{-1}\left(-2\right)[/inlmath] i [inlmath]f^{-1}\left(5\right)[/inlmath]. To za domaći, što reče Onomatopeja.

---

Može i grafičkim putem. Nacrtamo grafik funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\left|x+1\right|+\left|2x+4\right|+4x[/inlmath]:


(Na slici [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-osa nisu u međusobnoj srazmeri, da vas to ne zbuni.)
Treba da odredimo [inlmath]f^{-1}\left(-7\right)[/inlmath], tj. za koju vrednost [inlmath]x[/inlmath] će funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] dati vrednost [inlmath]-7[/inlmath]. Ništa lakše – na ordinati potražimo [inlmath]-7[/inlmath], zatim uočimo tačku na grafiku čija je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata jednaka [inlmath]-7[/inlmath], a zatim očitamo njenu [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu, koja u ovom slučaju iznosi [inlmath]-2[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]f\left(-2\right)=-7[/inlmath] i [inlmath]f^{-1}\left(-7\right)=-2[/inlmath]. Postupak ponovimo i pri traženju [inlmath]f^{-1}\left(-2\right)[/inlmath] i [inlmath]f^{-1}\left(5\right)[/inlmath].

---

Da li neko uočava zbog čega je u ovom zadatku onaj pogrešan postupak dovodio do ispravnog rešenja?

Daniel je napisao:Može i grafičkim putem.

Iako bas nesto ne volim graficki da resavam zadatke, ovaj nacin u konkretnom zadatku mi se bas dopao. Brzo i elegantno.

Daniel je napisao:Da li neko uočava zbog čega je u ovom zadatku onaj pogrešan postupak dovodio do ispravnog rešenja?

Da nije možda to što se dvije tačke nalaze tačno na ovim "prelomima" na grafiku, pa se u dva slučaja dobija isti rezultat, a samo jedan se može prihvatiti, dok treća tačka ne utiče na konačan rezultat

Daniel je napisao:Može i grafičkim putem.

samo je pitanje ko će na ispitu prihvatiti rješenje dobijeno grafičkim putem, uvijek se traži rezultat dobijen "matematički", ali fin i lagan način za kontrolu i ima još jedan problem većina ne bi znala nacrtati tačan grafik

bole je napisao:samo je pitanje ko će na ispitu prihvatiti rješenje dobijeno grafičkim putem, uvijek se traži rezultat dobijen "matematički", ali fin i lagan način za kontrolu i ima još jedan problem većina ne bi znala nacrtati tačan grafik

Pretpostavljam da je ovo zadatak za prijemni ispit neki. A cini mi se da na vecini beogradskih fakulteta, gde se radi matematika, postupak se ne gleda uopste (za ETF u Beogradu sam siguran, za ostale ne). Tako da, sam nacin rada nije nesto ni bitan za njih - svakako ce gledati zaokruzene odgovore. Sto je veoma lose, po mom misljenju. A ne vidim, zasto se ovakav postupak ne bi uvazio. Sasvim je korektan.

Ja sam ovaj zadatak imao na prijemnom za matematicki od prosle godine. Licno meni je bilo tesko da ga radim tako kako ga radite ovde
pa sam bio nacrtao grafik funkcije [inlmath]f[/inlmath] i gledao sa njega koje je resenje.

bole je napisao:

Daniel je napisao:Da li neko uočava zbog čega je u ovom zadatku onaj pogrešan postupak dovodio do ispravnog rešenja?

Da nije možda to što se dvije tačke nalaze tačno na ovim "prelomima" na grafiku, pa se u dva slučaja dobija isti rezultat, a samo jedan se može prihvatiti, dok treća tačka ne utiče na konačan rezultat

Pa, nije. Eto, da je ista ta funkcija, [inlmath]f\left(x\right)=\left|x+1\right|+\left|2x+4\right|+ 4x[/inlmath], a da se tražilo, recimo, [inlmath]f^{-1}\left(-9\right)+f^{-1}\left(12\right)[/inlmath], takođe bi se, primenom onog pogrešnog postupka, dobilo tačno rešenje (koje iznosi [inlmath]-3[/inlmath]), iako se ovog puta posmatrane tačke ne nalaze na „prelomima“.

bole je napisao:samo je pitanje ko će na ispitu prihvatiti rješenje dobijeno grafičkim putem, uvijek se traži rezultat dobijen "matematički",

Pa i grafički način spada u „matematičke“ načine. Verovatno si hteo da kažeš, analitički.
Elem, ne bih se složio. Ima zadataka koje je nemoguće (ili skoro nemoguće) uraditi na drugačiji način osim grafičkog. Čak su i u nekim zbirkama, kao rešenja nekih zadataka, prikazani grafički postupci.

Ilija je napisao:Pretpostavljam da je ovo zadatak za prijemni ispit neki. A cini mi se da na vecini beogradskih fakulteta, gde se radi matematika, postupak se ne gleda uopste (za ETF u Beogradu sam siguran, za ostale ne). Tako da, sam nacin rada nije nesto ni bitan za njih - svakako ce gledati zaokruzene odgovore. Sto je veoma lose, po mom misljenju.

Veoma loše, definitivno. A po mom mišljenju i vrlo nefer i neobjektivno. Ali pregledačima je očigledno mnogo jednostavnije i lakše da upoređuju zaokružene odgovore s „ključem“, nego da pregledaju da li je kandidat pravilno razmišljao prilikom rešavanja nekog zadatka.

Ilija je napisao:I sad imamo tri slucaja:

[inlmath]1)\enspace x<-2[/inlmath] gde ce funkcija biti [inlmath]f(x)=-x-1-2x-4+4x=x-5[/inlmath] cije vrednosi pripadaju [inlmath]x\in(-\infty,-7)[/inlmath].

[inlmath]2)\enspace-2\le x<-1[/inlmath] gde ce funkcija biti [inlmath]f(x)=-x-1+2x+4+4x=5x+3[/inlmath] cije vrednosi pripadaju [inlmath]x\in[-7,-2)[/inlmath].

[inlmath]3)\enspace x\ge-1[/inlmath] gde ce funkcija biti [inlmath]f(x)=x+1+2x+4+4x=7x+5[/inlmath] cije vrednosi pripadaju [inlmath]x\in[-2,+\infty)[/inlmath].

Da bi dobio skupove vrednosti za [inlmath]x[/inlmath] jel si samo uvrstavao granicne vrednosti za [inlmath]x[/inlmath]?

Tako je.

Ilija je napisao:Mojim nacinom rada, ocito pogresnim, dobija se sledece:

• Za [inlmath]x=-6[/inlmath], funkcija ce biti:
  [dispmath]f(x)=-2x-6+3x-2=x-8\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(x)=x+8\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(-6)=2[/dispmath]
• Za [inlmath]x=4[/inlmath], funkcija ce biti:
  [dispmath]f(x)=2x+6+3x-2=5x+4\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(x)=\frac{x-4}{5}\quad\Rightarrow\quad f^{-1}(4)=0[/dispmath]

Ovde je jedina greska sto je uzeto da [inlmath]-6[/inlmath] pripada skupu [inlmath](-\infty,-11)[/inlmath]. pa je uvrsteno u jednacinu [inlmath]x-8[/inlmath] tj njoj inverznu [inlmath]x+8[/inlmath]
Jer za [inlmath]x-8[/inlmath]