MATEMANIJA

Imam problem da resim jedan zadatak sa prirodnim logaritmom. On glasi ovako:
Dokazati da vazi
[dispmath]\frac{\ln(x)}{x-1}\leq\frac{1}{\sqrt{x}},\quad x>1[/dispmath]
Negde moja ideja je bila da napravim pomocnu funkiju od razlike gorenje dve i da dokazem da je uvek negativna i da preko izvoda dokazem da opada, ali mi se to izjalovilo ne mogu da resim nejednacinu. Treba mi samo neka ideja.
Zadatak je sa ispita analize1a na matf-u.

Evo jednostavne ideje, no ako je potrebno odgovoriću i detaljnije.
Ako je dato [inlmath]x>1[/inlmath] onda je logaritam sigurno pozitivan.
Što znači da je i izraz:
[dispmath]\frac{x-1}{\sqrt{x}}>0[/dispmath]

Molim te za detaljnije stvarno ne vidim kako bi mi pomoglo.

Evo ovo je bila moja ideja:
Funkcija [inlmath]\frac{x-1}{\sqrt{x}}[/inlmath]
brže raste i uvek je iznad funkcije [inlmath]\ln x[/inlmath] ako je [inlmath]x>1[/inlmath].
To se dokazuje tako što je prvi izvod prve funkcije uvek veći od prvog izvoda druge funkcije. Naravno za [inlmath]x>1[/inlmath]

Izvinjavam se sto ranije nisam odgovorio bese danas kolokvijum ne tako sjajno odradjen .
Ta ideja mi se dopala to mi je isto palo na pamet ali evo jednog predlozenog resenja koje nije moje vec od jednog od mojih kolega sa faksa.
[dispmath]\frac{\ln(x)}{x-1}=\frac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}=\frac{1}{y}\leq\frac{1}{\sqrt{y}}[/dispmath]
Meni se ovo ne dopada zato sto je [inlmath]y[/inlmath] broj izmedju [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] a ne tacno [inlmath]x[/inlmath]. Sta mislis o ovome?

Ovo se ni meni uopšte ne sviđa, neophodno je da se dodefiniše šta je [inlmath]y[/inlmath].
Razmisliću još.
Mada ima ovde nešto.

Trougle, (valjda sam dobro ubô vokativ, nisam se nikad ranije obraćao jednom trouglu ) jesi li ti razumeo to njihovo rešenje, i ako jesi, bi li mogao malo da ga objasniš? Ja nikako ne kontam odakle se ovde stvorilo to [inlmath]y[/inlmath] i šta to [inlmath]y[/inlmath] predstavlja.

Izvinjavam se mislio sam da je jasno . Ideja je da da se doda [inlmath]-0[/inlmath] pa da se ona predstavi kao [inlmath]-\ln(1)[/inlmath]. I onda se primeni lagranzova teorema. Ali meni se to ne dopada jer [inlmath]y[/inlmath] nije jednako [inlmath]x[/inlmath].

Trougao je napisao:[dispmath]\frac{\ln(x)}{x-1}=\frac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}=\frac{1}{y}\leq\frac{1}{\sqrt{y}}[/dispmath]
Meni se ovo ne dopada zato sto je [inlmath]y[/inlmath] broj izmedju [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] a ne tacno [inlmath]x[/inlmath]. Sta mislis o ovome?

Ni meni ovo baš ne pije vodu, mada moguće i da ja nešto previđam.
Da je [inlmath]y\ge x[/inlmath], onda bi bilo [inlmath]\frac{1}{\sqrt y}\le\frac{1}{\sqrt x}[/inlmath], pa bi time bilo dokazano i [inlmath]\frac{\ln(x)}{x-1}\le\frac{1}{\sqrt x}[/inlmath].
Ali, ovde je [inlmath]y<x[/inlmath], tako da to ne vredi.
Ukoliko ovaj njihov način ipak dovodi do valjanog dokaza, onda svakako nije dovoljno to samo ovako napisati, već je neophodno i dodatno prokomentarisati i obrazložiti.