MATEMANIJA

Zanima me kako bih mogla odrediti maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije, ali da ne idem preko prvog izvoda. Odnosno, da li postoji neki lakši način pošto mi preko izvoda izgleda previše komplikovano.

Konkretno me zanima ovaj zadatak:
[dispmath]f(x)=\frac{2x^2+6x+6}{x^2+4x+5}[/dispmath]
Konačno rešenje je [inlmath]1[/inlmath].

Malo sam istraživala i našla da su sličan zadatak radili tako što su [inlmath]f(x)[/inlmath] tj. [inlmath]y[/inlmath] pomožili sa djeliocem, dobili kv. jednačinu odakle su izrazili [inlmath]D\ge0[/inlmath], a odatle našli [inlmath]\frac{-b}{2a}[/inlmath], međutim, ja ne mogu da dobijem pravi rezultat tim postupkom ako sam sve dobro radila.

Iskreno ne razumem šta je komplikovano kod ovog izvoda.
[dispmath]\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)'=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{g^2\left(x\right)}[/dispmath]
[dispmath]f\left(x\right)=2x^2+6x+6\\
g\left(x\right)=x^2+4x+5\\
\begin{align}
\Rightarrow\quad\left(\frac{2x^2+6x+6}{x^2+4x+5}\right)'&=\frac{\left(2x^2+6x+6\right)'\left(x^2+4x+5\right)-\left(2x^2+6x+6\right)\left(x^2+4x+5\right)'}{\left(x^2+4x+5\right)^2}\\
&=\frac{\left(4x+6\right)\left(x^2+4x+5\right)-\left(2x^2+6x+6\right)\left(2x+4\right)}{\left(x^2+4x+5\right)^2}\\
&=\frac{4x^3+16x^2+20x+6x^2+24x+30-\left(4x^3+8x^2+12x^2+24x+12x+24\right)}{\left(x^2+4x+5\right)^2}\\
&=\frac{4x^3+22x^2+44x+30-4x^3-8x^2-12x^2-24x-12x-24}{\left(x^2+4x+5\right)^2}\\
&=\frac{2x^2+8x+6}{\left(x^2+4x+5\right)^2}\\
&=\frac{2\left(x^2+4x+3\right)}{\left(x^2+4x+5\right)^2}
\end{align}[/dispmath]
Ekstremi funkcije se dobijaju kada je prvi izvod jednak nuli
[dispmath]\Rightarrow\quad\frac{2\left(x^2+4x+3\right)}{\left(x^2+4x+5\right)^2}=0\\
\Rightarrow\quad x^2+4x+3=0\\
x_1=-1\quad\land\quad x_2=-3\\
\Rightarrow\quad\max\left(-3,3\right)\quad\land\quad\min\left(-1,1\right)[/dispmath]
Grafički prikaz:

Aha, mislila sam da je komplikovanije, nisam ni pokušavala izvod pa me zanimalo postoji li još neki način. Hvala!

Ivančica je napisao:Malo sam istraživala i našla da su sličan zadatak radili tako što su [inlmath]f(x)[/inlmath] tj. [inlmath]y[/inlmath] pomožili sa djeliocem, dobili kv. jednačinu

Hoćeš reći, posmatrali su samo brojilac ovog razlomka? Vidiš li u takvom postupku bilo kakvu logiku? Ja ne.

Herien Wolf je napisao:[dispmath]\left(\frac{2x^2+6x+6}{x^2+4x+5}\right)'=\frac{\left(2x^2+6x+6\right)'\left(x^2+4x+5\right)-\left(2x^2+6x+6\right)\left(x^2+4x+5\right)'}{\left(x^2+4x+5\right)^2}[/dispmath]

Preporučujem da se odmah dvojka kao konstanta izvuče izvan izvoda, kako bi nam unutar zagrade ostali manji brojevi koje treba da množimo i sabiramo:
[dispmath]\left(\frac{2x^2+6x+6}{x^2+4x+5}\right)'=\left(2\cdot\frac{x^2+3x+3}{x^2+4x+5}\right)'=2\left(\frac{x^2+3x+3}{x^2+4x+5}\right)'=\cdots[/dispmath]

Ivančica je napisao:Aha, mislila sam da je komplikovanije, nisam ni pokušavala izvod

Eto, uvek treba makar pokušati – ne može da škodi, a može da koristi.

A recimo, da li bi mogli da razmišljamo logički ovako: Ako je imenilac minimalan, a brojilac maksimalan, da li je to maksimalna vrednost funkcije, ili moraju izvodi?
P.S. možda je i glupo pitanje, ali mi rezonovanje nije loše, zar ne?

Pa, ako se baš tako potrefi da imenilac dostiže minimum za istu onu vrednost [inlmath]x[/inlmath] za koju brojilac dostiže maksimum – onda bismo mogli i tako, zašto da ne.
Ali, to je samo jedan specijalan slučaj. U opštem slučaju to neće da može tako.

Druga stvar – ovde i u brojiocu i u imeniocu imaš kvadratne funkcije koje imaju samo minimume. Nijedna od njih ne može imati maksimum, jer su obe „nasmejane“ (teme je prema dole, kraci prema gore).

A kad smo već to spomenuli – haj'mo da vidimo, da li znaš kako možeš jednostavno da prepoznaš slučaj kada jedan kvadratni trinom ima maksimum za istu vrednost [inlmath]x[/inlmath] za koju drugi kvadratni trinom ima minimum?

Da, da, taj moj, sad već čuveni koeficijent [inlmath]a[/inlmath].
Pa "jednostavno", sigurno da ne znam da prepoznam.

Daniel je napisao:

Ivančica je napisao:Malo sam istraživala i našla da su sličan zadatak radili tako što su [inlmath]f(x)[/inlmath] tj. [inlmath]y[/inlmath] pomožili sa djeliocem, dobili kv. jednačinu

Hoćeš reći, posmatrali su samo brojilac ovog razlomka? Vidiš li u takvom postupku bilo kakvu logiku? Ja ne.

Ako je ok evo kopiraću ovdje taj postupak, ako nije obrišite moj post. Njega sam pronašla na forumu studenata Farmaceutskog fakulteta od korisnika acitobus.
U pitanju je drugačija funkcija.
[dispmath]f(x)=\frac{2x^2+6x+6}{x^2+4x+5}[/dispmath]
Postupak je ovaj:

[dispmath]yx^2+4xy+5-2x^2-6x-6=0\\
(y-2)x^2+(4y-6)x+5y-6=0\\
D\ge0[/dispmath]
i kad uvrstis dobijas na kraju
[dispmath]-y^2+4y-3\ge0[/dispmath]
pa uzmes da je [inlmath]-y^2+4y-3=0[/inlmath] da bi izracunala [inlmath]y[/inlmath] i dobijes [inlmath]y_1=1[/inlmath] i[inlmath]y_2=3[/inlmath] pa je [inlmath]1\le y\le 3[/inlmath]
pa je [inlmath]y_\min=1\quad y_\max=3[/inlmath]

Daniel je napisao:da li znaš kako možeš jednostavno da prepoznaš slučaj kada jedan kvadratni trinom ima maksimum za istu vrednost [inlmath]x[/inlmath] za koju drugi kvadratni trinom ima minimum?

Pre svega, kao što smo već konstatovali – neophodno je da jedan trinom uopšte ima maksimum, a drugi minimum. To znači, koeficijenti uz kvadratni član (tj. [inlmath]a[/inlmath]) kod jednog i kod drugog moraju biti različitog predznaka.

Druga stvar, da bi jedan dostigao maksimum za istu vrednost [inlmath]x[/inlmath] za koju će drugi dostići minimum, potrebno je da [inlmath]x[/inlmath]-koordinate temena parabole jednog i drugog imaju istu vrednost.
[inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena parabole je, kao što znamo, [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], respektivno, koeficijent uz kvadratni i koeficijent uz linearni član.
To možemo napisati i kao [inlmath]x_T=-\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{a}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] konstanta, to znači da [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena parabole zavisi isključivo od [inlmath]\frac{b}{a}[/inlmath], tj. od odnosa [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

Zaključak: Jedan kvadratni trinom će dostići maksimum a drugi minimum za istu vrednost promenljive [inlmath]x[/inlmath] onda i samo onda kada je koeficijent uz kvadratni član jednog trinoma (tj. [inlmath]a[/inlmath]) suprotnog znaka u odnosu na isti taj koeficijent drugog trinoma, i kada je odnos koeficijenata uz kvadratni i uz linearni član ([inlmath]a:b[/inlmath]) u jednom kvadratnom trinomu jednak odnosu ta dva koeficijenta u drugom kvadratnom trinomu.

Primer:

[inlmath]\left.\begin{array}{l}
-2x^2+8x-7\\
3x^2-12x-4
\end{array}\right\}[/inlmath] – koeficijenti uz kvadratne članove su suprotnog znaka (jedan je [inlmath]-2[/inlmath], drugi je [inlmath]3[/inlmath]), a odnos koeficijenata uz kvadratni i linearni član je isti kod oba kvadratna trinoma (kod prvog je [inlmath]\left(-2\right):8[/inlmath], a kod drugog je [inlmath]3:\left(-12\right)[/inlmath], tj. kod oba je [inlmath]1:\left(-4\right)[/inlmath].

Ali, to opet ne znači da se taj metod može primeniti na svaku funkciju koja predstavlja količnik ovakva dva kvadratna trinoma. Potrebno je još i da ta funkcija bude neprekidna, a biće neprekidna ako kvadratni trinom u imeniocu nema realne nule. U suprotnom, ako ima realne nule, tada to što na ovakav način odredimo neće biti maksimalna/minimalna vrednost funkcije, već samo lokalni maksimum/minimum (jer će vrednost funkcije u okolinama prekidnih tačaka ići u [inlmath]\pm\infty[/inlmath]).

---

Ivančica je napisao:Postupak je ovaj:

Velika hvala za ovaj postupak, nisam te bio odmah razumeo o čemu se tu radi, ali taj način je vrlo originalan i zanimljiv.
Malo bih ga detaljnije opisao svojim rečima.

Pošto imenilac date funkcije nema realne nule, zaključujemo da je funkcija neprekidna, što znači da postoji neki opseg vrednosti [inlmath]y[/inlmath] unutar kojeg će se u svaku konkretnu vrednost [inlmath]y[/inlmath] preslikavati najmanje jedna vrednost promenljive [inlmath]x[/inlmath]. Van tog opsega vrednosti [inlmath]y[/inlmath] neće postojati nijedna vrednost [inlmath]y[/inlmath] u koju će se preslikavati neko [inlmath]x[/inlmath].

Gornja granica tog opsega biće i maksimalna vrednost posmatrane funkcije. I obratno, donja granica tog opsega biće minimalna vrednost te funkcije.

Prebacivanjem imenioca na levu stranu u izrazu za [inlmath]y[/inlmath] (što smemo činiti jer, kao što rekoh, kod ove funkcije izraz u imeniocu nema realne nule) i sređivanjem, dobili smo kvadratnu jednačinu po [inlmath]x[/inlmath], u kojoj [inlmath]y[/inlmath] možemo posmatrati kao parametar. I onda određivanje opsega [inlmath]y[/inlmath] u koji će funkcija preslikavati vrednosti [inlmath]x[/inlmath] svodimo zapravo na traženje onih vrednosti parametra [inlmath]y[/inlmath] za koje će dobijena kvadratna jednačina imati bar jedno rešenje po [inlmath]x[/inlmath].
Zbog toga imamo uslov da diskriminanta te kvadratne jednačine bude veća od nule ili jednaka nuli, čime dobijamo kvadratnu nejednačinu po [inlmath]y[/inlmath], a čije rešenje će upravo biti taj traženi opseg [inlmath]y[/inlmath].