MATEMANIJA

Sto se tice preslikavanja, imam problem sa surjekcijom. npr zadatak:
[dispmath]F\colon\mathbb{R}\to(0,+\infty)\quad f(x)=1+2^{2x}[/dispmath]
U ovom zadatku se treba odrediti osobine preslikavanja(injekcija, surjekcija, bijekcija), skup slika preslikavanja, inverzno preslikavanje(ukoliko postoji) i inverzni skup slika skupa
[dispmath]Y=\left\{\frac{3}{2},3\right\}[/dispmath]
Injektivno je preslikavanje, skup slika preslikavanja je [inlmath](1,+\infty)[/inlmath], sto se ne slaze sa kodomenom, pa iz toga proizlazi da nije surjekcija?
Kod trazenja inverznog skupa slika dobijem sledece:
[dispmath]\begin{matrix}
\displaystyle Y=\left(\frac{3}{2},3\right)\\
\displaystyle f^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)=1+2^{2x}\\
\displaystyle\frac{3}{2}=1+2^{2x}\\
\displaystyle\frac{3}{2}-1=2^{2x}\\
\displaystyle\left.\frac{1}{2}=2^{2x}\quad\right/\;\log_2\\
\displaystyle\log_2\frac{1}{2}=2x\\
\displaystyle\enclose{box}{x=\frac{\log_2\frac{1}{2}}{2}}
\end{matrix}\qquad\qquad\begin{matrix}
\displaystyle f^{-1}(3)=1+2^{2x}\\
\displaystyle3=1+2^{2x}\\
\displaystyle\left.2=2^{2x}\quad\right/\;\log_2\\
\displaystyle\log_22=2x\\
\displaystyle\enclose{box}{x=\frac{\log_22}{2}}
\end{matrix}[/dispmath]
Da li je uredu ovako ostaviti ili ima mogucnosti da se krate neki brojevi i da li sam uopste dobro izracunao rezultat? xD
Izvinite sto nisam koristio latex kod racunanja inverznog skupa, al sam stvarno u zurbi, lakse mi je bilo ovako uradit

jelacpp je napisao:Izvinite sto nisam koristio latex kod racunanja inverznog skupa, al sam stvarno u zurbi, lakse mi je bilo ovako uradit

Pa, možda smo i mi moderatori u žurbi, a stvaraš nam dodatni posao kad treba da prekucavamo slike koje ovako okačiš.

jelacpp je napisao:Injektivno je preslikavanje,

Što se odmah i vidi, bez potrebe za nekim posebnim računskim ispitivanjem, jer je funkcija monotono rastuća i neprekidna.

jelacpp je napisao:skup slika preslikavanja je [inlmath](1,+\infty)[/inlmath], sto se ne slaze sa kodomenom, pa iz toga proizlazi da nije surjekcija?

Tako je, da bi bila surjekcija mora se u svaku tačku kodomena preslikavati bar jedna tačka domena.

jelacpp je napisao:Kod trazenja inverznog skupa slika dobijem sledece:
[dispmath]Y=\left(\frac{3}{2},3\right)[/dispmath]

Verovatno si ovde greškom upotrebio oble umesto vitičastih zagrada? Vitičaste zagrade (kako si prvobitno naveo u tekstu zadatka) označavaju skup od samo ta dva navedena elementa (upravo kako si dalje u postupku i radio), dok oble zagrade označavaju otvoreni interval između te dve vrednosti (otvoreni znači da isključuje te dve vrednosti).

jelacpp je napisao:[dispmath]f^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)=1+2^{2x}\\
\frac{3}{2}=1+2^{2x}[/dispmath]

Ovde si se, vidim, malo zbunio.
Kada bi i jedna i druga jednakost bile tačne, iz njih bi sledilo i da je [inlmath]f^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}[/inlmath], što svakako nije slučaj.
Tačna je, zapravo, samo druga jednakost. Prva nije.
Pošto imamo da je [inlmath]f(x)=1+2^{2x}[/inlmath], a tražimo takvo [inlmath]x[/inlmath] za koje će biti [inlmath]f(x)=\frac{3}{2}[/inlmath], to znači da je [inlmath]f(x)=\frac{3}{2}=1+2^{2x}[/inlmath].
Isto tako, ako bismo na svaki od ova tri izraza sad primenili [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath], imali bismo [inlmath]x=f^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)=f^{-1}\left(1+2^{2x}\right)[/inlmath].
Ali, ni iz jedne od ovih jednakosti ne možemo zaključiti da je [inlmath]f^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)=1+2^{2x}[/inlmath] – to, jednostavno, nije tačno.
Međutim, pošto si nakon toga napisao ispravnu jednakost [inlmath]\frac{3}{2}=1+2^{2x}[/inlmath], dalji postupak ti je dobar.

Ista ova priča, naravno, važi i za [inlmath]\begin{matrix} f^{-1}(3)=1+2^{2x}\\ 3=1+2^{2x} \end{matrix}[/inlmath].

jelacpp je napisao:Da li je uredu...

Nije u redu pisati „uredu“.

jelacpp je napisao:[dispmath]\begin{matrix}
\displaystyle\vdots\\
\displaystyle\enclose{box}{x=\frac{\log_2\frac{1}{2}}{2}}
\end{matrix}\qquad\qquad\begin{matrix}
\displaystyle\vdots\\
\displaystyle\enclose{box}{x=\frac{\log_22}{2}}
\end{matrix}[/dispmath]
Da li je uredu ovako ostaviti ili ima mogucnosti da se krate neki brojevi i da li sam uopste dobro izracunao rezultat? xD

Dobro si izračunao, ali možeš ove logaritme ([inlmath]\log_2\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\log_22[/inlmath]) napisati u malo lepšem obliku.


Inače, budući da ti se ionako u zadatku traži inverzno preslikavanje, bolje je da prvo njega odrediš,
[dispmath]y=1+2^{2x}\quad\Longrightarrow\quad\cdots\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{2}\log_2(y-1)\quad\Longrightarrow\quad f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\log_2(x-1)[/dispmath]
pa onda u [inlmath]x=\frac{1}{2}\log_2(y-1)[/inlmath] samo uvrstiš [inlmath]y=\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]y=3[/inlmath]...

Zar ne treba preslikavanje biti bijektivno(injektivno+surjektivno) da bi imalo inverzno preslikavanje?

Istina, potrebno je da bude bijektivno, tako da, striktno gledano, ova funkcija nema svoju inverznu funkciju.
Međutim, radi određivanja inverznog skupa slika, možeš ipak tražiti inverznu funkciju za one vrednosti kodomena u koje se zadata funkcija preslikava, a to je interval kodomena [inlmath](1,+\infty)[/inlmath]. Taj interval tačno i odgovara intervalu [inlmath]x[/inlmath] u kojem je tako dobijena inverzna funkcija [inlmath]f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\log_2(x-1)[/inlmath] definisana.
Time „ubijaš dve muve“, jer nakon toga samo uvrstiš te dve zadate vrednosti ([inlmath]x=\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]x=3[/inlmath]) i odmah dobiješ oba rezultata.

Ako imamo neku funkciju [inlmath]f\colon X\to Y[/inlmath] i [inlmath]B\subseteq Y[/inlmath], tada definisemo inverznu sliku skupa [inlmath]B[/inlmath] funkcijom [inlmath]f[/inlmath], u oznaci [inlmath]f^{-1}(B)[/inlmath], kao [inlmath]f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}[/inlmath]. Sama egzistencija ovakvog skupa ne zavisi od toga da li funkcija [inlmath]f[/inlmath] ima inverznu funkciju, jer nama ta inverzna funkcija (njen oblik) i nije nuzno potrebna za sam rad.

Inace, konstrukcije „inverzni skup slika skupa“ ili „inverznog skupa slika“ su mi malo rogobatne i teske za svarivanje (kad ne uzimam čorbice, a lepo govore...).