MATEMANIJA

3. razred srednje skole, ponavljamo funkcije, ali mi jedna stvar nije jasna.

Kada odredjujemo domen, to je ok. Svako [inlmath]x[/inlmath] koje pripada realnom skupu brojeva shvatam.

Ali kodomen je druga stvar.

Npr. [inlmath]y\in(0,+\infty)[/inlmath] ali zadnja tacka na [inlmath]y[/inlmath] grafiku kroz koju prolazi graf je broj [inlmath]1[/inlmath] pa onda graf ide nagore (parabola ne dira [inlmath]x[/inlmath] osu). Sta ovdje znaci [inlmath]0[/inlmath]?

To je sve, ne znam da li sam bio dovoljno jasan.

Veeeeoma bi nam pomogao ako bi napisao o kojoj funkciji se radi
Pretpostavljam da je kvadratna, ali da ne bismo gledali u pasulj ipak ti nama napisi

[dispmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
X & 0 & 1 & 2 & -1 & -2\\ \hline
Y & 1 & 2 & 4 & 2 & 4\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Da li je ovo tacno odradjeno?

I kako bih odredio kodomen?

Radi se o grafu eksponencijalne funkcije, tacnije.

Na forumu za prikazivanje matematickih formula koristimo latex. Procitaj ovo uputstvo pre sledeceg postovanja.

Ova eksponencijalna ima domen [inlmath](-\infty,\infty)[/inlmath] i kodomen [inlmath]\left[1,\infty\right)[/inlmath] kao sto si i napisao. Tabela je dobra.
PS. Iako podseca na parabolu, ovo nije funkcija parabole

Zasto ova funkcija ([inlmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/inlmath]) gdje je [inlmath]D\colon(−\infty,\infty)[/inlmath] ima razlicit domen (kodomen, itd.) od recimo funkcije [inlmath]y=\left(\frac{1}{2}\right)^x[/inlmath] gdje je [inlmath]D\colon[1,\infty)[/inlmath]?

Obe ose se prostiru u nedogled po xy osi, zasto su onda drugacije?

Ispravak posta iznad u ovom odgovoru jer mi ne dozvoljava edit:

[inlmath]y=\left(\frac{1}{3}\right)^x[/inlmath] umjesto [inlmath]y=\left(\frac{1}{2}\right)^x[/inlmath].
Takodje [inlmath]D[/inlmath] nije [inlmath][1,\infty)[/inlmath] vec [inlmath]\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath]

Koristi se ista tabela kao za [inlmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/inlmath]

Počeo si da koristiš Latex, to je OK (doduše, korigovao sam ga, za koren se ne koristi √ već Latex-komanda \sqrt), ali bih te zamolio da pročitaš i ostatak Pravilnika. Nema nikakve potrebe da svaki put citiraš ceo prethodni post, time se unosi nepreglednost.

Što se tiče funkcije [inlmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/inlmath], ovo [inlmath]\sqrt{x^2}[/inlmath] je po definiciji jednako [inlmath]|x|[/inlmath], tako da možeš pisati [inlmath]y=2^{|x|}[/inlmath]. To znači da za [inlmath]x\ge0[/inlmath] funkcija glasi [inlmath]y=2^x[/inlmath], dok za [inlmath]x<0[/inlmath] funkcija glasi [inlmath]y=2^{-x}[/inlmath], tj. [inlmath]y=\frac{1}{2^x}[/inlmath].

asusrog je napisao:Obe ose se prostiru u nedogled po xy osi,

Ova formulacija ne znači ništa. Trudi se da preciznije i jasnije postavljaš pitanja.

asusrog je napisao:Koristi se ista tabela kao za [inlmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/inlmath]

Ne, tabela za funkciju [inlmath]y=\left(\frac{1}{3}\right)^x[/inlmath] nije ista kao za funkciju [inlmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/inlmath]. Ali ako si hteo da kažeš da za funkciju [inlmath]y=\left(\frac{1}{3}\right)^x[/inlmath] treba napraviti tabelu na isti način kao što smo napravili tabelu za funkciju [inlmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/inlmath], to je onda drugo.

I, nakon ovih tvojih ispravki u tvom poslednjem postu, šta je zapravo tvoje pitanje?

Daniel je napisao:Ali ako si hteo da kažeš da za funkciju [inlmath]y=\left(\frac{1}{3}\right)^x[/inlmath] treba napraviti tabelu na isti način kao što smo napravili tabelu za funkciju [inlmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/inlmath], to je onda drugo.

Da, istu tabelu treba koristiti. [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]-2[/inlmath].

Ako koristimo istu tabelu, moje pitanje je zasto su domen i kodomen razliciti kod funkcija [inlmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/inlmath] i [inlmath]y=\left(\frac{1}{3}\right)^x[/inlmath]?

---

Hvala za [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath], dosta je pomoglo.

Ako se ne varam, znaci da za [inlmath]x[/inlmath] [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath] [inlmath]-2[/inlmath], [inlmath]y=2^{-x}[/inlmath] daje pozitivan [inlmath]Y[/inlmath] ([inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath])?

asusrog je napisao:Ako koristimo istu tabelu, moje pitanje je zasto su domen i kodomen razliciti kod funkcija [inlmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/inlmath] i [inlmath]y=\left(\frac{1}{3}\right)^x[/inlmath]?

Domeni nisu različiti. I za jednu i za drugu funkciju domen je [inlmath](-\infty,+\infty)[/inlmath], kako si i sâm zaključio. Dakle, i jedna i druga funkcija su definisane za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath].
Kodomeni se razlikuju. Za funkciju [inlmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/inlmath], tj. [inlmath]y=2^{|x|}[/inlmath], kodomen je [inlmath][1,+\infty][/inlmath] jer je eksponent uvek pozitivan ili nula, pa kad dvojku digneš na pozitivan eksponent dobićeš vrednost veću od [inlmath]1[/inlmath], a kad dvojku digneš na nulu dobićeš vrednost [inlmath]1[/inlmath].
Za funkciju [inlmath]y=\left(\frac{1}{3}\right)^x[/inlmath] kodomen je [inlmath](0,+\infty)[/inlmath], jer eksponent može biti i pozitivan, i negativan, i nula. Kada [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath] digneš na negativan eksponent dobićeš vrednost veću od jedinice, kada [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath] digneš na nulu dobićeš vrednost jednaku nuli, a kada [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath] digneš na pozitivan eksponent dobićeš vrednost koja je između nule i jedinice. Ni za jednu realnu i konačnu vrednost eksponenta nećeš dobiti da je vrednost [inlmath]\left(\frac{1}{3}\right)^x[/inlmath] negativna ili nula.

asusrog je napisao:Hvala za [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath], dosta je pomoglo.

Možeš primetiti i to da je funkcija [inlmath]y=2^{|x|}[/inlmath] parna. Parna znači da je [inlmath]f(-x)=f(x)[/inlmath], ili, grafički posmatrano, da je njen grafik simetričan u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu.
Parnost se može pokazati time što je [inlmath]f(-x)=2^{|-x|}=2^{|x|}=f(x)[/inlmath]. A pošto je parna, dovoljno je posmatrati grafik desno od [inlmath]y[/inlmath]-ose, tj. za [inlmath]x\ge0[/inlmath] (gde će grafik odgovarati funkciji [inlmath]y=2^x[/inlmath]) i onda samo levo od [inlmath]y[/inlmath]-ose nacrtamo deo grafika koji će biti simetričan tom delu grafika desno od [inlmath]y[/inlmath]-ose.

asusrog je napisao:Ako se ne varam, znaci da za [inlmath]x[/inlmath] [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath] [inlmath]-2[/inlmath], [inlmath]y=2^{-x}[/inlmath] daje pozitivan [inlmath]Y[/inlmath] ([inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath])?

Funkcija [inlmath]y=2^{-x}[/inlmath] uvek ima pozitivnu vrednost – za svako realno i konačno [inlmath]x[/inlmath]. Objašnjenje je isto kao i za funkciju [inlmath]y=\left(\frac{1}{3}\right)^x[/inlmath].

Uradio sam analizu funkcije, pa me zanima ako je tacna. Trebamo odrediti domen, kodomen, nule, znak, tok (opadanje i rast funkcije) i ekstreme.

1)
D: [inlmath]\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath]
KD: [inlmath]y\in[1,\infty)[/inlmath]

2) Nule: nema

3) Znak: [inlmath]y>0,\;\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath]

4) Tok:
[inlmath]Y[/inlmath] opada od [inlmath]\infty[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]y\in(-\infty,1][/inlmath]
[inlmath]Y[/inlmath] raste od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]\infty[/inlmath], [inlmath]\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath]

5) Ekstremi: [inlmath]Y_{\min}=1[/inlmath]

Preciziraj samo koja je funkcija u pitanju, od ovih koje su dosad pominjane.

[inlmath]y=2^{\sqrt{x^2}}[/inlmath] ili [inlmath]y=2^{|x|}[/inlmath]

Sve ti je tačno, izuzev toka:

asusrog je napisao:4) Tok:
[inlmath]Y[/inlmath] opada od [inlmath]\infty[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]y\in(-\infty,1][/inlmath]
[inlmath]Y[/inlmath] raste od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]\infty[/inlmath], [inlmath]\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath]

Iskreno, nije mi jasno šta si ovo napisao. Treba da dobiješ da je na intervalu [inlmath]x\in(−\infty,0)[/inlmath] funkcija opadajuća (vrednost joj opada od [inlmath]+\infty[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath]), a na intervalu [inlmath]x\in(0,+\infty)[/inlmath] rastuća (vrednost joj raste od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath]).

Znak beskonačnosti piši s predznakom ([inlmath]-\infty[/inlmath] ili [inlmath]+\infty[/inlmath]), kako bi bilo nedvosmisleno o kojoj beskonačnosti se radi.

I, za ekstrem si našao samo [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu. [inlmath]x[/inlmath]-koordinata ekstrema je [inlmath]0[/inlmath].

To je to onda, hvala za pomoc.