MATEMANIJA

Profesorka nam je objasnjavala kako da uradimo ovaj zadatak u skoli, ali ja nisam shvatio.
[dispmath]f(x)=\frac{\cos x+1}{1-3\cos x}[/dispmath]
Treba da se odredi kodomen, a [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\pi[/inlmath]
Znam da je kodomen funkcije domen inverzne i kada uradim inverznu i zamenim izraz sa [inlmath]t[/inlmath] dobijem da je
[dispmath]\cos x+1=t-t\cdot3\cos x[/dispmath]
Kako da iz ove jednacine dobijem [inlmath]x[/inlmath]?

Lako je izraziti [inlmath]x[/inlmath]:
[inlmath]\cos x+1=t-t\cdot3\cos x[/inlmath]
[inlmath]\cos x+t\cdot3\cos x=t-1[/inlmath]
[inlmath]\cos x=\frac{t-1}{3t+1}[/inlmath]
[inlmath]x=\arccos\left(\frac{t-1}{3t+1}\right)[/inlmath]
A kako sad?

E,sad je malo tezi deo Kada sam resio preko tablica dobio sam interval kome [inlmath]x[/inlmath] pripada.
Kako da ubacim u to i taj deo sa [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath]?

branko123 je napisao:Kako da ubacim u to i taj deo sa [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath]?

Interval [inlmath][0,\pi][/inlmath] je ovde zadat samo zato da bi funkcija bila injektivna i da bi, samim tim, imala inverznu funkciju. Jer, ako bismo izašli iz tog intervala, imali bismo slučaj da za dve različite vrednosti [inlmath]x[/inlmath] imamo istu vrednost funkcije, tj. funkcija više ne bi bila injektivna, pa ne bi imala ni inverznu funkciju. E, zbog toga je zadat taj interval.

Pošto je arkus kosinus definisan na intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath], kad smo dobili oblik [inlmath]x=\arccos\left({\frac{t-1}{3t+1}}\right)[/inlmath] vidimo da je potrebno da argument arkus kosinusa, [inlmath]\frac{t-1}{3t+1}[/inlmath], bude u granicama od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] (uključujući i te vrednosti). Na taj način odredimo domen ove funkcije, što će istovremeno biti kodomen zadate funkcije.

Kodomen se može odrediti i na drugi način, bez traženja inverzne funkcije, tako što nađemo izvod i asimptote, na taj način odredimo minimume i maksimume... mada je to ipak više posla...

Dodao bih samo (posle Danielovog posta) da je kodomen od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]-1[/inlmath] i isto tako od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\infty[/inlmath] pri čemu su uključeni [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath].
Namerno ovako pišem, da bi korisnik branko123 konačno dao i neki svoj postupak.
A za tvoje konkretno pitanje, tj:

branko123 je napisao:Kako da ubacim u to i taj deo sa [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath]?

Pa zameni u zadatu funkciju u postavci zadatka umesto [inlmath]x[/inlmath] najpre nulu i potom [inlmath]\pi[/inlmath] i dobija se [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath].

Hvala vam na pomoci ,znao sam da odredim da [inlmath]x[/inlmath] pripada od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]-1[/inlmath] i od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath] samo nisam znao koje od tih resenja pripadaju uslovu da [inlmath]x[/inlmath] mora biti izmedju [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath], ali sad kad mi je Daniel objasnio shvatio sam

Super. Drago mi je da ti je ovaj forum bio od pomoći. Ali bih te zamolio da koristiš Latex. Ako već pravilno otkucaš sve komande u Latexu, uokviri ih i Latex-tagovima, kako bi bile prikazane kako treba.