MATEMANIJA

Molim vas za pomoć.

Odredi [inlmath](f\circ g)(x)[/inlmath] i [inlmath](g\circ f)(x)[/inlmath] za [inlmath]f^{-1}(x)=2^{2x-1}[/inlmath] i [inlmath]g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2-x}[/inlmath]

Moram prvo odredtiti [inlmath]f(x)[/inlmath]
[dispmath]f^{-1}(x)=2^{2x-1}\\
y=2^{2x-1}\\
x=2^{2y-1}[/dispmath]
kako dalje?

Ovako određujemo [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath]
[dispmath]y=2^{2x-1}\\
\Rightarrow\;\log_2y=2x-1\\
\frac{\log y}{\log2}+1=2x\\
\frac{\log y+\log2}{2\log2}=x[/dispmath]
Zamenimo mesta [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\;f\left(x\right)=\frac{\log x+\log2}{2\log2}[/dispmath]

Ostalo je sam da probaš da uradiš (naravno ako ne budeš mogao, onda će neko sa foruma da ti objasni i pomogne) :
[dispmath]\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\bigl(f\left(x\right)\bigr)\\
\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\bigl(g\left(x\right)\bigr)[/dispmath]

Mislim da bi, radi nalaženja kompozicija ovih funkcija, funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] bilo zgodnije predstaviti u sledećem obliku:
[dispmath]\log_2y=2x-1\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1+\log_2y}{2}\\
\Longrightarrow\quad f(x)=\frac{1+\log_2x}{2}[/dispmath]
Takođe, na izraz kojim je data funkcija [inlmath]g(x)[/inlmath] zgodno je primeniti osobinu [inlmath]\left(\frac{1}{a}\right)^n=a^{-n}[/inlmath].

Evo probao sam????? Molim vas ispravite ako nije tačno. Hvala.
[dispmath]\begin{align*}
(f \circ g)(x)&=f\bigl(g(x)\bigr)=\frac{\log_2(\frac{1}{2})^{2-x}+1}{2}=\frac{(x-2)\log_22+1}{2}=\frac{x-2+1}{2}=\frac{x-1}{2}\\
(g \circ f)(x)&=g\bigl(f(x)\bigr)=\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{2-\tfrac{\log_2x+1}2}=\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{\tfrac{4-\log_2x-1}{2}}=\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{\tfrac{-\log_2x+3}{2}}
\end{align*}[/dispmath]

Jeste, tačno je sve. Ali, da si me poslušao pa na funkciju [inlmath]g(x)[/inlmath] primenio [inlmath]\left(\frac{1}{a}\right)^n=a^{-n}[/inlmath], dobio bi [inlmath]g(x)=2^{x-2}[/inlmath], što bi ti donekle pojednostavilo račun, a i rešenje za [inlmath](g\circ f)(x)[/inlmath] bi dobio u lepšem obliku.
Moj ti je savet da to ipak pokušaš.

Hvala. Dobio sam:
[dispmath]g(x)=2^{x-2}\\
(g\circ f)(x)=2^{\Large\frac{\log_2x-3}{2}}[/dispmath]

To je to.

P.S. Kad pišeš formule u zasebnom redu, tada je bolje da koristiš equation-tagove, jer tada formule budu jasnije i čitljivije. Inline-tagovi se koriste onda kad formulu treba prikazati unutar teksta (unutar rečenice).