MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=\log_4\left(x^2-5x+6\right)[/dispmath]
Treba mi pomoć oko ove funkcije. Ovako sam odredila domen i nule, ali za znak nisam sigurna.
[dispmath]x^2-5x+6>0[/dispmath][dispmath]x_1=3;\;x_2=2[/dispmath][dispmath]Df\colon x\in(-\infty,2)\cup(3,+\infty)[/dispmath]
Nule funkcije:
[dispmath]\log_4x^2-5x+6=0[/dispmath][dispmath]4^0=x^2-5x+6[/dispmath][dispmath]x^2-5x+5=0[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{5+\sqrt5}{2}[/dispmath][dispmath]x_2=\frac{5-\sqrt5}{2}[/dispmath]

Domen i nule funkcije su ti tačni.

Što se tiče znaka funkcije – pošto je osnova logaritma veća od jedinice, vrednost logaritma će biti negativna kada je numerus ([inlmath]x^2-5x+6[/inlmath]) između nule i jedinice, a biće pozitivna kada je numerus veći od jedinice.

A kako se određuje znak ako je osnova logaritamske funkcije manja od jedinice?

Označimo sa [inlmath]a[/inlmath] osnovu logaritamske funkcije, [inlmath]0<a<1[/inlmath]. Koristeći ovaj primer dobijamo [inlmath]\log_a\left(x^2-5x+6\right)[/inlmath] tj. [inlmath]\log_a\left(x^2-5x+6\right)>0[/inlmath]. Dalje, [inlmath]x^2-5x+6<1[/inlmath]. Dakle, kada imaš osnovu između nule i jedinice, suprotno je. Vrednost logaritamske funkcije sa takvom osnovom je pozitivna za numerus između nule i jedinice, a negativna za numerus koji je veći od jedan. Matematički zapisano, to izgleda ovako [inlmath]0<x^2-5x+6<1[/inlmath]. Rešila bi ove dve kvadratne nejednačine i dobila bi za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] je takva logaritamska funkcija pozitivna.

Takođe, kada je [inlmath]0<a<1[/inlmath], tada je logaritamska funkcija [inlmath]\log_ax[/inlmath] opadajuća i, kao što prethodnik reče, za [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] je pozitivna, za [inlmath]x=1[/inlmath] prolazi kroz nulu i za [inlmath]x>1[/inlmath] ima negativne vrednosti.
I obrnuto, kada je [inlmath]a>1[/inlmath], tada je logaritamska funkcija [inlmath]\log_ax[/inlmath] rastuća i za [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] je negativna, za [inlmath]x=1[/inlmath] prolazi kroz nulu i za [inlmath]x>1[/inlmath] ima pozitivne vrednosti.

U ovom postu možeš videti GIF-animaciju logaritamske funkcije, u kojoj je ilustrovano kako se njen izgled menja s promenom vrednosti osnove [inlmath]a[/inlmath]...

Hvala puno