MATEMANIJA

Zadatak glasi:
Funkcija [inlmath]f\colon\mathbb{R^2}\to\mathbb{R^2}[/inlmath] je definisana sa
[dispmath]f(x,y)=(3x-y,\;x-5y)[/dispmath]
Ispitati da li je bijekcija.
Nije mi jasno kako da ispitam da li je injekcija.
Ako stavim da [inlmath](x,y),(a,b)\in\mathbb{R^2}[/inlmath] mora vaziti [inlmath]f(x,y)=f(a,b)[/inlmath]
Odnosno [inlmath](3x-y,\;x-5y)=(3a-b,\;a-5b)[/inlmath]
tj. [inlmath]3x-y=3a-b[/inlmath] i [inlmath]x-5y=a-5b[/inlmath]
Ali imam 4 nepoznate a 2 jednacine...

Možeš pomnožiti drugu jednačinu sa [inlmath]3[/inlmath], i onda oduzeti jednu od druge.
Ostaće ti na kraju [inlmath]14y=14b[/inlmath], pa poslije skraćivanja sa [inlmath]14[/inlmath], dobijaš da je [inlmath]y=b[/inlmath].
Kada to vratiš u jednu od jednačina dobićeš da je [inlmath]x=a[/inlmath]
[dispmath]\Longrightarrow\quad(x,y)=(a,b)[/dispmath]
Odnosno funkcija [inlmath]f[/inlmath] je injekcija

A kako bi isla sirjekcija? Malo me zbunjuje jer sam navikao raditi sa tackama na pravoj a ovo su uredjeni parovi (tacke) u ravni

Neka je [inlmath](x',y')\in\mathbb{R}^2[/inlmath]
Da li postoji [inlmath](x,y)\in\mathbb{R}^2[/inlmath], tako da [inlmath]f(x,y)=(x',y')[/inlmath]?
[dispmath](3x-y,\;x-5y)=(x',y')\\
3x-y=x'\\
x-5y=y'\\[/dispmath]
Ako pomnožiš drugu jednačinu sa [inlmath]3[/inlmath], i zatim ih oduzmeš, dobićeš [inlmath]y=\frac{1}{14}x'-\frac{3}{14}y'[/inlmath]
Sada možeš pomnožiti prvu jednačinu sa [inlmath]5[/inlmath], i oduzeti ih, dobije se da je [inlmath]x=\frac{5}{14}x'-\frac{1}{14}y'[/inlmath]

Dakle, funkcija [inlmath]f[/inlmath] je sirjekcija

Pošto je [inlmath]f[/inlmath] bijekcija za vježbu odredi inverznu funkciju funkcije [inlmath]f[/inlmath]

Aha sad mi je jasno.

Inverz bi onda bio [inlmath]f^{-1}(x,y)=\left(\frac{5x-y}{14},\frac{x-3y}{14}\right)[/inlmath] jel tako?

Da. Zapravo, inverzna funkcija je već i izračunata prilikom dokazivanja surjektivnosti.

Kad [inlmath]-1[/inlmath] stavljaš u eksponent, grupiši ga u Latexu unutar vitičastih zagrada. Znači, ne f^-1 (to se prikazuje kao [inlmath]f^-1[/inlmath]), već f^{-1} (prikazuje se kao [inlmath]f^{-1}[/inlmath]). Ispravio sam ti.

Inace [inlmath]f[/inlmath] moze da se zapise i preko matrice (jer je to jedan linearan operator), pa se i u terminima matrica moze resiti ovaj zadatak (inverzna funkcija je inverzna matrica, i tako dalje).

Čisto zbog onih koji baš ne vladaju ovom oblašću, prikazao bih Onomatopejinu ideju.
[dispmath]\begin{bmatrix}
x & y
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & 1\\
-1 & -5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3x-y & x-5y
\end{bmatrix}[/dispmath] [inlmath]\begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & -5 \end{bmatrix}[/inlmath] je matrica linearnog operatora, koji vektor [inlmath]\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix}[/inlmath] preslikava u vektor [inlmath]\begin{bmatrix} 3x-y & x-5y \end{bmatrix}[/inlmath].

I sad, ako obe strane pomnožimo zdesna sa [inlmath]\begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & -5 \end{bmatrix}^{-1}[/inlmath], dobijamo
[dispmath]\begin{bmatrix}
x & y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3x-y & x-5y
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & 1\\
-1 & -5
\end{bmatrix}^{-1}[/dispmath] što znači da [inlmath]\begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & -5 \end{bmatrix}^{-1}[/inlmath] predstavlja matricu linearnog operatora koji odgovara inverznoj funkciji.