MATEMANIJA

Naći konstante [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] tako da funkcija
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
\displaystyle a\cdot\frac{\sqrt{\sin x^2-x^3}}{x}, & x<0\\
b, & x=0\\
x^{x^2}, & x>0
\end{cases}[/dispmath] bude neprekidna na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].

Za [inlmath]a[/inlmath] dobijam [inlmath]0[/inlmath], jer [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to0^-}\left(a\cdot\frac{\sqrt{\sin\left(x^2\right)-x^3}}{x}\right)[/inlmath] (i [inlmath]\lim\limits_{x\to0^+}[/inlmath] za treći red), ali nisam siguran kako da dobijem [inlmath]b[/inlmath].
Hvala unapred.

Najlakše ti je da kreneš od onog limesa u kojem ne figurišu nepoznate konstante, a to je [inlmath]\lim\limits_{x\to0^+}x^{x^2}[/inlmath]. Samo, obrati pažnju, taj limes nije nula.

Kad odrediš taj limes, tada, jednostavno, za konstantu [inlmath]b[/inlmath] mora važiti [inlmath]b=\lim\limits_{x\to0^+}x^{x^2}[/inlmath] kako bi funkcija bila neprekidna zdesna u tački [inlmath]x=0[/inlmath].

Nakon određivanja konstante [inlmath]b[/inlmath], konstantu [inlmath]a[/inlmath] odrediš tako da važi [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to0^-}a\cdot\frac{\sqrt{\sin x^2-x^3}}{x}=b[/inlmath], kako bi funkcija bila neprekidna sleva u tački [inlmath]x=0[/inlmath].