MATEMANIJA

Pozdrav,
Imam problema sa razumevanjem rešenja ovog zadatka:
Da li je moguće razbiti zatvoreni interval [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath] na dva disjunktna skupa [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] i definisati funkciju [inlmath]f[/inlmath] tako da za svako [inlmath]x\in A,\;f\left(x\right)\in B[/inlmath] i za svako [inlmath]x\in B,\;f\left(x\right)\in A[/inlmath] ?

Rešenje:
Nije moguće. Pretpostavimo da imamo skupove [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] i funkciju [inlmath]f[/inlmath] sa traženim svojstvom. Kako je [inlmath]f\left(x\right)\ne x[/inlmath], to je [inlmath]f\left(0\right)>0[/inlmath] i [inlmath]f\left(1\right)<1[/inlmath]. Sledi da neprekidna funkcija [inlmath]g\left(x\right)=f\left(x\right)-x[/inlmath] u krajnjim tačkama zatvorenog intervala [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath] uzima vrednosti različitog znaka. Podsetimo se da uz definiciju neprekidne funkcije često kažemo da se njihovi grafici mogu nacrtati jednim potezom (ne odvajajući olovku od papira). Prema tome, ako funkcija [inlmath]g[/inlmath] u krajnjim tačkama uzima vrednost različitog znaka, njen grafik mora seći [inlmath]O_x[/inlmath] osu, tj. postoji [inlmath]a\in\left[0,1\right][/inlmath] takvo da je [inlmath]g\left(a\right)=0[/inlmath], odnosno [inlmath]f\left(a\right)=a[/inlmath], što je kontradikcija.

Nije mi jasno otkud ova funkcija [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath], pa onda ni ostatak rešenja ne mogu da 'razatkam'.
P.S. Nadam se da nisam pogrešio u pisanju ovih izraza. Ako jesam, ne zamerite, prvi put ovo radim.

Zaboravih da napišem da je zadatak iz časopisa 'Tangenta'.

Corba248 je napisao:Rešenje:
Nije moguće.

Ovako kako je zadatak napisan, moguće je. Trivijalan primer bi bio
[dispmath]A=\left[0,\frac{1}{2}\right],\quad B=\left(\frac{1}{2},1\right],\quad f(x)=\begin{cases} 1, & 0\le x\le\frac{1}{2}\\ 0, & \frac{1}{2}<x\le1 \end{cases}[/dispmath] Takođe,

Corba248 je napisao:Sledi da neprekidna funkcija [inlmath]g\left(x\right)=f\left(x\right)-x[/inlmath]...

Funkcija definisana kao [inlmath]f(x)-x[/inlmath] uopšte ne mora biti neprekidna, budući da ni [inlmath]f(x)[/inlmath] ne mora biti neprekidna, a razlika prekidne i neprekidne funkcije je prekidna funkcija.

Sasvim bi druga stvar bila kada bi zadatak glasio:
Da li je moguće razbiti zatvoreni interval [inlmath][0,1][/inlmath] na dva disjunktna skupa [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] i definisati neprekidnu funkciju [inlmath]f[/inlmath] tako da za svako [inlmath]x\in A,\;f(x)\in B[/inlmath] i za svako [inlmath]x\in B,\;f(x)\in A[/inlmath] ?
Tada bi već sve imalo smisla.

Molim za proveru teksta zadatka.

Jeste neprekidna, stvarno ne znam kako sam to uspeo da izostavim. Izvinjavam se.

E s tim podatkom je već mnogo jasnije i logičnije. Iz uslova da [inlmath]f(x)\in B[/inlmath] za svako [inlmath]x\in A[/inlmath] i da [inlmath]f(x)\in A[/inlmath] za svako [inlmath]x\in B[/inlmath] sledi da ni za jedno [inlmath]x[/inlmath] ne sme važiti [inlmath]f(x)=x[/inlmath], jer bi tada značilo da su [inlmath]x[/inlmath] i vrednost u koju se [inlmath]x[/inlmath] preslikava jednake, a to bi, opet, značilo da pripadaju istom skupu, što je protivno prethodno navedenom uslovu. Dakle, ako bismo dokazali da, pri bilo kojoj podeli intervala [inlmath][0,1][/inlmath] na dva disjunktna skupa, mora za bar jedno [inlmath]x[/inlmath] važiti [inlmath]f(x)=x[/inlmath], dokazali bismo da takvu podelu intervala i takvo definisanje funkcije [inlmath]f[/inlmath] kakvo se traži u zadatku – nije moguće izvršiti.
Radi tog dokazivanja, u jednačini [inlmath]f(x)=x[/inlmath] lakše je od obe strane oduzeti [inlmath]x[/inlmath], čime se dobije [inlmath]f(x)-x=0[/inlmath]. Ako sada [inlmath]f(x)-x[/inlmath] nazovemo nekom novom funkcijom [inlmath]g(x)[/inlmath], ostalo je da dokažemo da postoji bar jedno [inlmath]x[/inlmath] takvo da je [inlmath]g(x)[/inlmath] jednako nuli.
Da li ti je sada ostatak dokaza jasan?

---

Grafički prikaz (koji se ne bi mogao smatrati za valjan dokaz, ali je pogodan da se stekne neka vizuelna predstava problema) izgledao bi ovako:


Zelenom bojom su prikazane oblasti van kojih nije moguće da [inlmath]f(0)[/inlmath], odnosno [inlmath]f(1)[/inlmath], uzmu vrednost (a koje vrednosti unutar tih oblasti mogu uzeti, to već zavisi od načina podele intevala [inlmath][0,1][/inlmath] na dva disjunktna skupa). Pri tome, naravno, [inlmath]f(0)[/inlmath] ne može biti [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]f(1)[/inlmath] ne može biti [inlmath]1[/inlmath], zbog uslova zadatka.
Pitanje koje je postavljeno u zadatku, ovime se svodi na pitanje da li je moguće od bilo koje tačke unutar zelene oblasti levo povući krivu, ne odvajajući olovku od papira, do bilo koje tačke u zelenoj oblasti desno – a da ta kriva ne preseca crvenu liniju u kojoj je [inlmath]f(x)=x[/inlmath].

Sad mi je jasno. Zbunjivalo me je uvodjenje te nove funkcije [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath]. Posle je sve jasno, jer zaista [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath] menja znak, tj. uzima vrednost [inlmath]0[/inlmath], pa mora biti [inlmath]f\left(x\right)=x[/inlmath].
Hvala, zaista odlično objašnjenje , sad mi i moje pitanje deluje pomalo bezvezno .

Corba248 je napisao:Podsetimo se da uz definiciju neprekidne funkcije često kažemo da se njihovi grafici mogu nacrtati jednim potezom (ne odvajajući olovku od papira).

Sto i nije bas tacno, npr. funkcija [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}[/inlmath] je primer neprekidne funkcije za cije crtanje moramo odvojiti olovku od papira. No sa druge strane za funkcije definisane na segmentu to jeste tacno, jer je neprekidna slika povezanog skupa povezan skup.

Onomatopeja je napisao:Sto i nije bas tacno, npr. funkcija [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}[/inlmath] je primer neprekidne funkcije za cije crtanje moramo odvojiti olovku od papira.

Štaviše, sve elementarne funkcije su neprekidne na svom domenu. S tim u vezi, preporučujem ovaj post, u kojem je to sve detaljno objašnjeno.