MATEMANIJA

Pozdrav, potrebna mi je pomoć pri rešavanju ovog zadatka:
Naći sve realne vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] takve da funkcija
[dispmath]f(x)=\frac{1}{3}2^{3x}+a\cdot2^{2x-1}+(1-a)2^x[/dispmath] bude rastuća za sve [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath].
Ja sam prvo našao prvi izvod:
[dispmath]f(x)'=2^x\ln2\left(2^{2x}+a\cdot2^x+1-a\right)[/dispmath] Da bi polazna funkcija bila rastuća za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] onda njen prvi izvod mora uvek biti pozitivan, a kako je [inlmath]2^x\ln2>0[/inlmath] za svako realno [inlmath]x[/inlmath], preostaje samo da ispitamo izraz u zagradi. Uvodjenjem smene [inlmath]2^x=t[/inlmath] dojamo:
[dispmath]t^2+at+1-a>0[/dispmath] Ovo treba da važi za svako [inlmath]t>0[/inlmath]. Ako je diskriminanta [inlmath]D=a^2+4a-4[/inlmath] negativna, nejednakost sigurno važi, i dobija se
[dispmath]-2\left(1+\sqrt2\right)<a<2\left(\sqrt2-1\right)[/dispmath] Ovaj sad deo mi je nejasan:
Neka je [inlmath]D\ge0[/inlmath] nejednakost važi za sve [inlmath]t>0[/inlmath] ako su oba korena odgovarajuće jednačine [inlmath]t_{1,2}=-a\pm\sqrt{a^2+4a-4}\le0[/inlmath]. Ovo važi za [inlmath]2\left(\sqrt2-1\right)\le a\le1[/inlmath].
Dakle, funkcija je rastuća za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] akko važi:
[dispmath]-2\left(1+\sqrt2\right)\le a\le1[/dispmath] Zadatak je iz pripremnog materijala za takmičenja.

Corba248 je napisao:Ja sam prvo našao prvi izvod:
[dispmath]f(x)'=2^x\ln2\left(2^{2x}+a\cdot2^x+1-a\right)[/dispmath]

Prvi izvod treba pisati kao [inlmath]f'(x)[/inlmath]. Znači, apostrof dođe između [inlmath]f[/inlmath] i otvorene zagrade.

Corba248 je napisao:Da bi polazna funkcija bila rastuća za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] onda njen prvi izvod mora uvek biti pozitivan,

Sme biti i nula, ali samo u izolovanoj tački, ne na nekom intervalu (jer bi onda na tom intervalu funkcija bila konstanta). Primer funkcije čiji je izvod pozitivan osim u jednoj tački u kojoj je jednak nuli, a funkcija je ipak rastuća za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath], jeste funkcija [inlmath]f(x)=x^3[/inlmath]. Njen izvod je [inlmath]3x^2[/inlmath], što je pozitivno za svako realno [inlmath]x[/inlmath], izuzev za [inlmath]x=0[/inlmath], kada je i vrednost izvoda nula. Pa, ipak, funkcija [inlmath]f(x)=x^3[/inlmath] je na celom intervalu realnih brojeva monotono rastuća.

Corba248 je napisao:Ako je diskriminanta [inlmath]D=a^2+4a-4[/inlmath] negativna, nejednakost sigurno važi, i dobija se
[dispmath]-2\left(1+\sqrt2\right)<a<2\left(\sqrt2-1\right)[/dispmath]

Dakle, kao što napisah gore, izvod sme biti nula u izolovanoj tački, što znači da nejednakost sigurno važi ukoliko je diskriminanta negativna ili nula. U slučaju da je diskriminanta nula, imaćemo jednu (i samo jednu) tačku u kojoj je izvod jednak nuli.
Prema tome, ako uzmemo [inlmath]D\le0[/inlmath], umesto gornjeg rešenja nejednačine dobija se
[dispmath]-2\left(1+\sqrt2\right)\le a\le2\left(\sqrt2-1\right)[/dispmath]

Corba248 je napisao:Ovaj sad deo mi je nejasan:
Neka je [inlmath]D\ge0[/inlmath] nejednakost važi za sve [inlmath]t>0[/inlmath] ako su oba korena odgovarajuće jednačine [inlmath]t_{1,2}=-a\pm\sqrt{a^2+4a-4}\le0[/inlmath]. Ovo važi za [inlmath]2\left(\sqrt2-1\right)\le a\le1[/inlmath].

Pošto imamo uslov da je [inlmath]t>0[/inlmath], posmatramo na grafiku samo onaj deo koji se nalazi desno od [inlmath]y[/inlmath]-ose. Funkcija desno od [inlmath]y[/inlmath]-ose, tj. za [inlmath]t>0[/inlmath], mora biti pozitivna. Kakva je funkcija na [inlmath]y[/inlmath]-osi ili levo od [inlmath]y[/inlmath]-ose, to nas ne interesuje. A moguć je slučaj da funkcija levo od [inlmath]y[/inlmath]-ose ima i negativne vrednosti, a da desni krak parabole, desno od [inlmath]y[/inlmath]-ose, ima pozitivne vrednosti (upravo ono što nama treba). To će upravo biti slučaj kad su obe nule te funkcije smeštene levo od [inlmath]y[/inlmath]-ose (ili ona desna nula, eventualno, u samom koordinatnom početku). To jest, [inlmath]t_1<t_2\le0[/inlmath]. E sad, pošto je [inlmath]t_1[/inlmath] manje od [inlmath]t_2[/inlmath], dovoljno je samo da postavimo uslov da je [inlmath]t_2\le0[/inlmath], a odatle će svakako slediti da je [inlmath]t_1<0[/inlmath]. Pošto [inlmath]t_2[/inlmath] predstavlja veću nulu, za nju uzimamo plus isped korena, tj. [inlmath]t_2=-a+\sqrt{a^2+4a-4}[/inlmath] i, pošto je [inlmath]t_2\le0[/inlmath], imamo nejednačinu [inlmath]-a+\sqrt{a^2+4a-4}\le0[/inlmath], koju rešimo. Dobije se, kao što si i napisao, [inlmath]2\left(\sqrt2-1\right)\le a\le1[/inlmath].

Preporučujem da pogledaš i ovaj zadatak, ima izvesnih sličnosti jer je isto u pitanju kvadratna nejednačina s parametrom, isto se uvodi smena [inlmath]t[/inlmath] pri čemu je [inlmath]t>0[/inlmath], i potrebno je zamišljati kako izgleda grafik u koordinatnom sistemu.

Corba248 je napisao:Dakle, funkcija je rastuća za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] akko važi:
[dispmath]-2\left(1+\sqrt2\right){\color{red}\le}a\le1[/dispmath]

Kao unija oba međurešenja koja si dobio, tj. prvog međurešenja [inlmath]-2\left(1+\sqrt2\right)<a<2\left(\sqrt2-1\right)[/inlmath] i drugog međurešenja [inlmath]2\left(\sqrt2-1\right)\le a\le1[/inlmath], trebalo bi da dobiješ konačno rešenje [inlmath]-2\left(1+\sqrt2\right){\color{red}<}a\le1[/inlmath].

Međutim, upravo ako uzmeš u obzir onu moju primedbu da u prvom slučaju nije [inlmath]D<0[/inlmath] već je [inlmath]D\le0[/inlmath], tada se dobija ovo konačno rešenje koje si napisao, dakle, [inlmath]-2\left(1+\sqrt2\right)\le a\le1[/inlmath].

Daniel je napisao:Prvi izvod treba pisati kao f′(x). Znači, apostrof dođe između f i otvorene zagrade.

Slučajno

Daniel je napisao:Dakle, kao što napisah gore, izvod sme biti nula u izolovanoj tački, što znači da nejednakost sigurno važi ukoliko je diskriminanta negativna ili nula. U slučaju da je diskriminanta nula, imaćemo jednu (i samo jednu) tačku u kojoj je izvod jednak nuli.

Ja sam isto tako radio, i tu sam stao, nisam ispitivao slučaj [inlmath]D>0[/inlmath], već samo [inlmath]D\le0[/inlmath]. Ovaj postupak sam prepisao iz rešenja, i isti je kao i moj sve do ispitivanja [inlmath]D\ge0[/inlmath] (Oni su slučaj kad je [inlmath]D=0[/inlmath] ispitivali u drugom delu). Mislim da ne treba u prvom delu ispitivati i kad je jednaka, jer je to pokriveno u drugom delu [inlmath]D\ge0[/inlmath]. Ja to ne napisah, mada je trebalo da napomenem da se pri ispitivanju [inlmath]D\ge0[/inlmath] intervalu dodaju vrednosti [inlmath]-2\left(1+\sqrt2\right)[/inlmath] i [inlmath]2\left(\sqrt2-1\right)[/inlmath].
Što se tiče ovog nejasnog sad je, naravno, jasno. Nije mi, moram priznati, pala na pamet ta mogućnost, da su oba korena negativna (ili jedan jednak [inlmath]0[/inlmath]). Veliko hvala
P.S. Nije nam džabe profesorka uvek govorila: 'Skicirajte uvek to što pišete', da sam je poslušao, možda ne bih pogrešio

Corba248 je napisao:Mislim da ne treba u prvom delu ispitivati i kad je jednaka, jer je to pokriveno u drugom delu [inlmath]D\ge0[/inlmath].

Pa, nije pokriveno. Ako bi [inlmath]D=0[/inlmath] ispitivao samo u drugom slučaju (pozitivna diskriminanta i oba korena negativna ili nula), tada bi izostavio mogući slučaj da se teme parabole nalazi desno od [inlmath]y[/inlmath]-ose i da dodiruje apscisu.
Zbog toga bi se, kako u prethodnom postu i napisah, nalaženjem unije međurešenja [inlmath]-2\left(1+\sqrt2\right)<a<2\left(\sqrt2-1\right)[/inlmath] i [inlmath]2\left(\sqrt2-1\right)\le a\le1[/inlmath], dobilo pogrešno rešenje [inlmath]-2\left(1+\sqrt2\right){\color{red}<}a\le1[/inlmath] umesto tačnog [inlmath]-2\left(1+\sqrt2\right){\color{red}\le}a\le1[/inlmath].
Ako bi radio slučaj [inlmath]D\le0[/inlmath], tada bi se dobilo tačno rešenje.

Corba248 je napisao:Ja to ne napisah, mada je trebalo da napomenem da se pri ispitivanju [inlmath]D\ge0[/inlmath] intervalu dodaju vrednosti [inlmath]-2\left(1+\sqrt2\right)[/inlmath] i [inlmath]2\left(\sqrt2-1\right)[/inlmath].

Ako sam te dobro razumeo, govoriš o uniji međurešenja koju sam upravo i ja pominjao.

Corba248 je napisao:P.S. Nije nam džabe profesorka uvek govorila: 'Skicirajte uvek to što pišete'

Uh, sad sam se malo zbunio, mislim da su oni uklučili i [inlmath]-2\left(1+\sqrt2\right)[/inlmath] kad su u drugom delu postavili uslov [inlmath]D\ge0[/inlmath].
Prilažem ovde originalno rešenje. Nalazi se na 55. i 56. strani priloženog, zadatak broj 4.

Ne treba nikad da rešenja iz knjiga uzimaš zdravo za gotovo, jer i u njima može biti grešaka. Treba uvek da proveriš koliko ti je logično to što je napisano. U priloženom rešenju očigledno postoji greška, jer po onome što tamo piše, tačka [inlmath]x=-2\left(1+\sqrt2\right)[/inlmath] ne pripada ni rešenju prvog ni rešenju drugog slučaja, a onda se odjednom nekako stvori u uniji rešenja ta dva slučaja.
Da ne bude nesporazuma, dakle, još jednom. Tačno je da tačka [inlmath]x=-2\left(1+\sqrt2\right)[/inlmath] pripada konačnom rešenju, ali tako što pripada i rešenju prvog slučaja. Jer kad ne bi pripadala rešenju prvog slučaja (a sasvim sigurno ne pripada ni rešenju drugog slučaja), tada ne bi pripadala ni konačnom skupu rešenja.
Do greške u rešenju prvog slučaja u priloženom PDF-u došlo se tako što je u prvom slučaju razmatrano samo [inlmath]D<0[/inlmath], umesto [inlmath]D\le0[/inlmath].

Iako sam već naveo primer s funkcijom [inlmath]y=x^3[/inlmath], moram još jednom, jer je na njoj vrlo očigledno ovo što želim da kažem. Ako treba da ispitaš za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] je ova funkcija monotono rastuća, naći ćeš njen prvi izvod (to je [inlmath]3x^2[/inlmath]) i konstatovaćeš da je prvi izvod pozitivan svuda, osim u [inlmath]x=0[/inlmath] u kojoj je jednak nuli. Ali, ako iz ovoga zaključiš da je funkcija [inlmath]y=x^3[/inlmath] monotono rastuća u svim tačkama osim u [inlmath]x=0[/inlmath], zeznućeš se, jer ova funkcija je monotono rastuća na celom skupu realnih brojeva, uključujući i [inlmath]x=0[/inlmath].
Uostalom, pokušaj da nađeš bilo koje dve tačke [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] u okolini nule (od kojih jedna može biti i u samoj nuli), takve da je [inlmath]x_1<x_2[/inlmath], pri čemu neće važiti [inlmath]f(x_1)<f(x_2)[/inlmath]. Videćeš da takve dve tačke ne postoje.

Poznato mi je to da se uključuje i [inlmath]0[/inlmath] u interval (što zaista i jeste logično), ali nisam smeo da tvrdim da u rešenju postoji greška (jer su me mnogo puta demantovali). U potpunosti se slažem da se nigde do samog kraja ne pominje vrednost [inlmath]-2\left(1+\sqrt2\right)[/inlmath] kao sastavni deo intervala kojem pripada [inlmath]a[/inlmath], međutim mislio sam da ja nešto ne uočavam, jer sam ga ja i uključio u svom rešenju pri ispitivanju [inlmath]D\le0[/inlmath], a više sam se skoncentrisao na drugi deo.
U svakom slučaju, bilo je korisno prodiskutovati ovu nelogičnost . Na kraju krajeva, može i njima da se desi da pogreše, iako je u pitanju zvanično takmičenje, nije im prvi put, za mene i bolje što su pogrešili, jer sam dobio još detaljnije objašnjenje.
Još jednom, hvala.