MATEMANIJA

Pozdrav, radim zadatke za prijemne ispite i matematika mi nikad nije nesto posebno isla pa ako moze pomoc oko dva zadatka

1. Odrediti za koju vrednost promenljive [inlmath]x[/inlmath] funkcija [inlmath]F(x)=\left|-x^2+4x-6\right|[/inlmath] dostize najvecu vrednost na segmentu [inlmath][1,2][/inlmath].
Ovo sam radio tako sto podelim na dva slucaja vece i manje od nule i onda preko izvoda trazim max/min ali mi uvek ispadne pogresno resenje.

2. Razlika najmanje i najvece vrednosti funkcije [inlmath]F(x)=\sqrt{x^2-6x+16}[/inlmath] na segmentu [inlmath][1,6][/inlmath] pripada skupu?
Ovde sam mislio da zamenim ono sto pise u resenjima u cilju da dobijem tacan rezultat ali nisam siguran da li to bas tako moze.

Unapred hvala na pomoci

Za prvi zadatak:
Iz diskriminante i koeficijenta uz [inlmath]x^2[/inlmath] se vidi da je izraz unutar apsolutnih zagrada uvek negativan, pa će baš zbog apsolutnih zagrada funkcija biti uvek pozitivna. Ovde nije potrebno koristiti izvod. Funkcija u zadatku je ekvivalentna sa:
[dispmath]f(x)=x^2-4x+6[/dispmath] zaista ukoliko je nacrtaš dobićeš isto, ova apsolutna zagrada je samo preslikava preko [inlmath]x[/inlmath]-ose.
Dakle zaključili smo da je funkcija u stvari parabola. U ovom konkretnom slučaju možemo uočiti da je teme parabole u [inlmath]x=2[/inlmath], ovo dobijamo iz formule za koordinate temena [inlmath]T\left(-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a}\right)[/inlmath]. Parabola je simetrična u odnosu na teme, u ovom slučaju teme je njen minimum. Dakle ona opada na [inlmath]x\in(-\infty,2][/inlmath] pa je njen maksimum na pomenutom segmentu u [inlmath]x=1[/inlmath]. Uz crtež je sve jasnije.
Ovde se 'potrefilo' da nam teme baš lepo odgovara za analizu funkcije, u opštem slučaju uvek je bolje naći izvod i analizirati monotonost i znak funkcije na datom intervalu, mada je kod parabola teme vrlo korisno.
Da smo radili preko izvoda dobili bismo da je izvod [inlmath]f'(x)=2x-4[/inlmath] tj. nula prvog izvoda je [inlmath]x=2[/inlmath], tu izvod menja znak, pa dobijamo opet isti zaključak, da funkcija opada na segmentu [inlmath][1.2][/inlmath] tj. isti rezultat.

U drugom nađeš izvod, trebalo bi da dobiješ da je nula prvog izvoda u [inlmath]x=3[/inlmath] (to je minimum), zatim uočiš na kom intervalu funkcija raste, a na kom opada (da bi našao maksimum)... Ovde bi mogao da uvrstiš krajnje vrednosti datog segmenta, dakle, [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] (kad nađeš pomenute intervale biće ti jasno zašto).
Možeš uvrštavati rešenja ako su ponuđena, mada je uvek sigurnije i definitivno bolje rešiti zadatak. Doduše, nisam siguran kako bi, u ovom konkretnom zadatku, mogao uvrštavanjem rešenja nešto korisno da zaključiš s obzirom da se u zadatku traži razlika minimalne i maksimalne vrednosti na datom segmentu.

Ni u drugom nije neophodno traženje izvoda. Budući da je potkorena veličina pozitivna za svako realno [inlmath]x[/inlmath], dovoljno je samo iskoristiti monotonost korene funkcije, iz koje sledi da će funkcija dostići maksimum (minimum) za istu vrednost [inlmath]x[/inlmath] za koju će i potkorena veličina, [inlmath]x^2-6x+16[/inlmath], dostići maksimum (minimum).