MATEMANIJA

Evo još malo gradiva srednje škole... Malo zapinjem

Dakle, treba odrediti inverzni oblik funkcija;
[dispmath]f(x)=\log_2 (4x)-\log_\sqrt 2 x[/dispmath]
rješenje: [inlmath]y=f^{-1}(x)=2^{2-x}[/inlmath]
[dispmath]f(x)=\log_\sqrt 2 (2x)+\log_\frac{1}{2}x[/dispmath]
rješenje: [inlmath]y=f^{-1}x=2^{x-2}[/inlmath]

O, pa ti se odlično služiš Latex-om, blake... Svaka čast.

U ovakvim zadacima cilj ja da sve svedemo na logaritme s jednakim osnovama, a u oba zadatka vidimo da će biti najlakše da ih svedemo na logaritme s osnovom [inlmath]2[/inlmath], budući da su i [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] stepeni dvojke, tj. [inlmath]2^\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]2^{-1}[/inlmath], respektivno.

Funkciju [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] prvo malo sredimo:
[dispmath]f\left(x\right)=\log_2\left(4x\right)-\log_{\sqrt 2}x[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=\log_2 4+\log_2 x-\frac{1}{\log_x\sqrt 2}[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=2+\log_2 x-\frac{1}{\frac{1}{2}\log_x 2}[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=2+\log_2 x-2\log_2 x[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=2-\log_2 x[/dispmath]
Sada to napišemo kao
[dispmath]x=2-\log_2 f^{-1}\left(x\right)[/dispmath][dispmath]\log_2 f^{-1}\left(x\right)=2-x[/dispmath][dispmath]f^{-1}\left(x\right)=2^{2-x}[/dispmath]
Drugi zadatak se radi vrlo slično. Možeš pokušati da ga rešiš na osnovu rešenja ovog prvog zadatka, pa ako ne bude išlo, javi pa ćemo i njega uraditi.

Daniel je napisao:Sada to napišemo kao
[dispmath]x=2-\log_2 f^{-1}\left(x\right)[/dispmath][dispmath]\log_2 f^{-1}\left(x\right)=2-x[/dispmath][dispmath]f^{-1}\left(x\right)=2^{2-x}[/dispmath]

e drugi sam rješia po ovom tvom postupku u par crta... samo ne kužin kako kad stavljamo bazu [inlmath]2[/inlmath] ispod logaritma onda moramo stavit i bazu [inlmath]2[/inlmath] ispod [inlmath]2-x[/inlmath] ODJEDANPUT...a ja bi stavlja [inlmath]2[/inlmath] ispod [inlmath]2[/inlmath] pa onda minus pa opet [inlmath]2^x[/inlmath]
a [inlmath]2^2-2^x\ne 2^{2-x}[/inlmath]

E, pa ne smeš nikako posle
[dispmath]\log_2 f^{-1}\left(x\right)=2-x[/dispmath]
napisati
[dispmath]f^{-1}\left(x\right)=2^2-2^x[/dispmath]
Kako i sam kažeš, [inlmath]2^2-2^x\ne 2^{2-x}[/inlmath] (za stepenovanje ne važi distibutivnost u odnosu na oduzimanje).

Možemo to posmatrati ovako:
[dispmath]\log_2 f^{-1}\left(x\right)=\left(2-x\right)[/dispmath]
Sada i na levoj i na desnoj strani dvojku dignemo na iznos leve, odnosno desne strane:
[dispmath]2^{\log_2 f^{-1}\left(x\right)}=2^{\left(2-x\right)}[/dispmath]
(Pošto smo dvojku digli na ceo iznos leve strane, isto tako i na desnoj strani, radi očuvanja jednakosti, dvojku moramo dići na ceo iznos desne strane, tj. na [inlmath]\left(2-x\right)[/inlmath] i to odjednom, znači [inlmath]2^{2-x}[/inlmath], a nikako [inlmath]2^2[/inlmath] pa minus [inlmath]2^x[/inlmath])

Primenjujući osobinu da je
[dispmath]n^{log_n x}=x[/dispmath]
dobijamo:
[dispmath]2^{\log_2 f^{-1}\left(x\right)}=f^{-1}\left(x\right)=2^{2-x}[/dispmath]

Izračunajte inverznu funkciju i odredite područje definicije te funkcije
[dispmath]f(x)=\mathrm{arctg}\:3x[/dispmath][dispmath]f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}[/dispmath]

blake je napisao:[dispmath]f(x)=\mathrm{arctg}\:3x[/dispmath]

[dispmath]f\left(x\right)=y=\mathrm{arctg}\:3x[/dispmath]
Oblast definisanosti inverzne funkcije:
[inlmath]\mathrm{arctg}\:3x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath]

„Tangensujemo“ obe strane:
[dispmath]\mathrm{tg}\:y=\mathrm{tg}\left(\mathrm{arctg}\:3x\right)[/dispmath]
Tangens i arkus tangens nisu inverzne funkcije na celom intervalu realnih brojeva, međutim, budući da je arkus tangens injektivna funkcija, što znači da se iz vrednosti arkus tangensa može jednoznačno odrediti vrednost njegovog argumenta, važi da je [inlmath]\mathrm{tg}\left(\mathrm{arctg}\:x\right)=x[/inlmath].
S druge strane, recimo, pošto tangens nije injektivna već periodična funkcija, ne bi važilo [inlmath]\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\:x\right)=x[/inlmath].
Dakle,
[dispmath]\mathrm{tg}\:y=3x[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{3}\mathrm{tg}\:y[/dispmath]
pa je, na intervalu [inlmath]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath]:
[dispmath]f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{3}\mathrm{tg}\:x[/dispmath]
to jest,
[dispmath]f^{-1}\left(x\right)=\begin{cases}
\frac{1}{3}\mathrm{tg}\:x, & x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\\
\mbox{nije definisana}, & x\notin\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)
\end{cases}[/dispmath]

blake je napisao:[dispmath]f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}[/dispmath]

[dispmath]f\left(x\right)=y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}[/dispmath][dispmath]y\left(e^x+e^{-x}\right)=e^x-e^{-x}[/dispmath][dispmath]ye^x+ye^{-x}=e^x-e^{-x}[/dispmath][dispmath]ye^x-e^x=-ye^{-x}-e^{-x}[/dispmath][dispmath]e^x\left(y-1\right)=-e^{-x}\left(y+1\right)[/dispmath][dispmath]\frac{e^x}{e^{-x}}=-\frac{y+1}{y-1}[/dispmath][dispmath]e^{2x}=\frac{1+y}{1-y}\quad /\ln[/dispmath][dispmath]2x=\ln\frac{1+y}{1-y}[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+y}{1-y}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}[/dispmath]
Područje definicije: [inlmath]\frac{1+x}{1-x}>0[/inlmath] i rešiš to po [inlmath]x[/inlmath]...

Inverz od
[dispmath]f(x)=\frac{1-\log_2\left(\cos^4x+\sin^4x\right)}{\log_2\left(\cos^4x+\sin^4x\right)}[/dispmath][dispmath]\frac{1-\log_2\left(\cos^4y+\sin^4y\right)}{\log_2\left(\cos^4y+\sin^4y\right)}=x[/dispmath][dispmath]1-\log_2\left(\cos^4y+\sin^4y\right)=x\cdot\log_2\left(\cos^4y+\sin^4y\right)[/dispmath][dispmath]2-\cos^4y+\sin^4y=\left(\cos^4y+\sin^4y\right)^x[/dispmath]

Ne valja ti poslednji red. Pretpostavljam da si jedinicu iz pretposlednjeg reda napisao kao [inlmath]\log_2 2[/inlmath] i dobio
[dispmath]\log_2 2-\log_2\left(\cos^4y+\sin^4y\right)=\log_2\left(\cos^4y+\sin^4y\right)^x[/dispmath]
ali si zaboravio da razlika logaritama nije jednaka logaritmu razlike, već logaritmu količnika. Tj. [inlmath]\log a-\log b{\color{red}\ne}\log\left(a-b\right)[/inlmath], već [inlmath]\log a-\log b{\color{red}=}\log\frac{a}{b}[/inlmath]. Prema tome, dobije se
[dispmath]\log_2\frac{2}{\cos^4y+\sin^4y}=\log_2\left(\cos^4y+\sin^4y\right)^x[/dispmath]
Međutim, ima tu još nešto. Funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] je periodična, pošto u njoj promenljiva [inlmath]x[/inlmath] figuriše samo unutar izraza [inlmath]\cos^4y+\sin^4y[/inlmath], za koji se lako može pokazati da je periodičan. Pošto je [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] periodična, ona ne može imati inverznu funkciju. Zato ću raditi pod pretpostavkom da je u zadatku rečeno da se traži inverz one funkcije koja bi na jednom određenom intervalu, na kojem je [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] injektivna, imala vrednost funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath], a van tog intervala ne bi bila definisana.

Izjednačavamo vrednosti argumenata logaritama iz prethodnog koraka:
[dispmath]\frac{2}{\cos^4y+\sin^4y}=\left(\cos^4y+\sin^4y\right)^x[/dispmath][dispmath]2=\left(\cos^4y+\sin^4y\right)^{x+1}[/dispmath][dispmath]\cos^4y+\sin^4y=2^\frac{1}{x+1}[/dispmath][dispmath]\underbrace{\cos^4y+2\sin^2y\cos^2y+\sin^4y}_{\left(\cos^2y+\sin^2y\right)^2=1}-2\sin^2y\cos^2y=2^\frac{1}{x+1}[/dispmath][dispmath]1-\frac{1}{2}\cdot\underbrace{4\sin^2y\cos^2y}_{\left(2\sin y\cos y\right)^2=\sin^2 2y}=2^\frac{1}{x+1}[/dispmath][dispmath]1-\frac{1}{2}\sin^2 2y=2^\frac{1}{x+1}\quad /\cdot 2[/dispmath][dispmath]2-\sin^2 2y=2^{\frac{1}{x+1}+1}[/dispmath][dispmath]2-\sin^2 2y=2^{\frac{x+2}{x+1}}[/dispmath][dispmath]\sin^2 2y=2-2^{\frac{x+2}{x+1}}\quad /\sqrt{\phantom{0}}[/dispmath][dispmath]\left|\sin 2y\right|=\sqrt{2-2^{\frac{x+2}{x+1}}}[/dispmath][dispmath]\sin 2y=\pm\sqrt{2-2^{\frac{x+2}{x+1}}}[/dispmath]
Ceo dosadašnji postupak se mogao sprovoditi i za originalnu funkciju [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath]. Međutim, da bismo se sad oslobodili ovog sinusa, tj. da bismo „arkus sinusovali“ obe strane, moramo se sad ograničiti na taj jedan interval funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath], kao što sam malopre napisao. U zavisnosti od toga na koji se interval ograničimo, umesto [inlmath]\pm[/inlmath] uzimamo ili plus ili minus.
Ako smo uzeli interval funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] u kome je [inlmath]x[/inlmath] pozitivno, onda, zbog simetričnosti inverzne funkcije, sada mora biti [inlmath]y[/inlmath] pozitivno, pa pošto je koren pozitivan i, samim tim, i arkus sinus korena pozitivan, moramo ispred arkus sinusa staviti plus:
[dispmath]2y=\arcsin\sqrt{2-2^{\frac{x+2}{x+1}}}[/dispmath][dispmath]y=\frac{1}{2}\arcsin\sqrt{2-2^{\frac{x+2}{x+1}}}[/dispmath]
Ali, ako smo uzeli interval funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] u kome je [inlmath]x[/inlmath] negativno, onda mora sada biti [inlmath]y[/inlmath] negativno, pa ispred arkus sinusa stavljamo minus:
[dispmath]y=-\frac{1}{2}\arcsin\sqrt{2-2^{\frac{x+2}{x+1}}}[/dispmath]

Daniel je napisao:(...)
[inlmath]\cos^4y+\sin^4y[/inlmath], za koji se lako može pokazati da je periodičan.
(...)

[inlmath]\cos^4y+\sin^4y=\cos^4(y+T)+\sin^4(y+T)[/inlmath]

Da, a može se videti i po tome što sam u svom postupku [inlmath]\cos^4y+\sin^4y[/inlmath] predstavio kao [inlmath]1-\frac{1}{2}\sin^2 2y[/inlmath], a kvadrat sinusa je periodična funkcija. Ili, ako se to dalje sredi,
[dispmath]1-\frac{1}{2}\sin^2 2y=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\cos 4y}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4y[/dispmath]
Iz ovako napisanog izraza vidimo čak i koliki je osnovni period – [inlmath]\frac{2\pi}{4}[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath].

Naći inverznu funkciju:
[dispmath]f(x)=-x^2+2x+13[/dispmath][dispmath]y=-x^2+2x+13[/dispmath][dispmath]-x^2+2x=y-13\quad /(-1)[/dispmath][dispmath]x^2-2x=13-y[/dispmath][dispmath]\left(x^2-2x+1\right)-1=13-y[/dispmath][dispmath](x-1)^2=14-y[/dispmath][dispmath]\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{14-y}[/dispmath][dispmath]x-1=\sqrt{14-y}[/dispmath][dispmath]x=\sqrt{14-y}+1[/dispmath][dispmath]f^{-1}(x)=\sqrt{14-x}+1[/dispmath]
Da li sam ovo dobro uradila?

Ista priča kao i u prethodnom zadataku – [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] nije injektivna, prema tome, nema inverznu funkciju. Međutim, pošto funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] predstavlja parabolu, ako bismo posmatrali samo jedan krak te parabole, takva funkcija bi bila injektivna i za nju bismo mogli naći inverznu funkciju. Za tako definisanu funkciju, koja predstavlja jedan krak te parabole, tvoj postupak bi bio ispravan, s tim da treba obratiti pažnju na korak
[dispmath]\sqrt{\left(x-1\right)^2}=\sqrt{14-y}[/dispmath]
iz kojeg sledi
[dispmath]\left|x-1\right|=\sqrt{14-y}[/dispmath]
tj.
[dispmath]x-1=\pm\sqrt{14-y}[/dispmath][dispmath]x=1\pm\sqrt{14-y}[/dispmath]
E sad, da li ćemo uzeti plus ili minus, zavisi od toga da li tražimo inverznu funkciju za levi ili za desni krak parabole. Ako tražimo za levi krak, uzimamo minus, a ako tražimo za desni krak, uzimamo plus.

Šta parabola ne more bit inverzna s obzirom na os [inlmath]x[/inlmath] ?

Zato što se kod parabole dve različite vrednosti [inlmath]x[/inlmath] preslikavaju u jednu vrednost [inlmath]y[/inlmath]. (Primer: [inlmath]y=x^2[/inlmath], [inlmath]\left(-3\right)^2=3^2=9.[/inlmath]) Ako bismo pretpostavili da za takvu funkciju postoji inverzna funkcija, onda bi se kod takve inverzne funkcije jedna vrednost [inlmath]x[/inlmath] preslikavala u dve vrednosti [inlmath]y[/inlmath], pa time ne bi bio ispunjen uslov koji funkcija mora da ima, a to je jednoznačnost, prema tome, to ne bi bila funkcija. Kontradikcija.

Da malo dopunim svoje prethodno objašnjenje.

Grafički posmatrano, kada funkcija nije injektivna, mogla bi se povući takva horizontalna linija koja bi grafik te funkcije presecala u više od jedne tačke. Kod injektivne funkcije, koju god horizonatlnu liniju da povučemo, ona može grafik te funkcije da seče najviše u jednoj tački. Pošto znamo da je grafik inverzne funkcije simetričan originalnoj funkciji u odnosu na pravac [inlmath]y=x[/inlmath] (tj. na simetralu [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-ose, inverzna funkcija neinjektivne funkcije bi imala takav grafik, da bi bilo moguće povući vertikalnu liniju takvu da preseca grafik te inverzne funkcije u više od jedne tačke. To bi onda značilo da za neko [inlmath]x[/inlmath] funkcija ne bi imala tačno određenu vrednost, već bi mogla imati više od jedne vrednosti. A to onda nije funkcija.

Evo i ilustracije za zadatak s parabolom koji je ivzo postavila:


Plavo označena funkcija, [inlmath]y=1+\sqrt{14-x}[/inlmath], bila bi inverzna funkcija desnom kraku parabole i njemu bi bila simetrična u odnosu na pravac [inlmath]y=x[/inlmath].
Zeleno označena funkcija, [inlmath]y=1-\sqrt{14-x}[/inlmath], bila bi inverzna funkcija levom kraku parabole i njemu bi bila simetrična u odnosu na pravac [inlmath]y=x[/inlmath].
Inverzna funkcija cele parabole (tj. oba njena kraka) ne postoji, jer bi ona bila „unija“ plave i zelene funkcije, pa bi jednoj vrednosti nezavisne promenljive [inlmath]x[/inlmath] odgovarale dve vrednosti te inverzne funkcije, što bi bilo u kontradikciji s osobinama funkcije.

U prethodnom zadatku pored
[dispmath]f(x)=-x^2+2x+13[/dispmath]
stoji i
[dispmath]f:(-\infty,0]\to (-\infty,13][/dispmath]

Pa, da. To onda već ima smisla. Znači, posmatra se interval [inlmath]\left(-\infty,0\right][/inlmath] koji se preslikava u interval [inlmath]\left(-\infty,13\right][/inlmath].
Interval [inlmath]\left(-\infty,0\right][/inlmath] se odnosi na promenljivu [inlmath]x[/inlmath] (tj. predstavlja sve što je levo od [inlmath]y[/inlmath]-ose), dok interval [inlmath]\left(-\infty,13\right][/inlmath]predstavlja vrednosti funkcije na tom intervalu.
Pošto je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata preseka kvadratne funkcije s [inlmath]y[/inlmath]-osom jednaka slobodnom članu, u ovom slučaju [inlmath]13[/inlmath], a ova funkcija, pošto joj je koeficijent uz kvadratni član negativan, ima krake okrenute prema dole, a teme prema gore, logično je da će se, za [inlmath]x[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(-\infty,0\right][/inlmath],, njene vrednosti nalaziti u intervalu [inlmath]\left(-\infty,13\right][/inlmath], kao što je crvenom bojom obeleženo na slici:


Pošto je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena kvadratne funkcije jednaka [inlmath]-\frac{b}{2a}[/inlmath], tj. u ovom slučaju [inlmath]1[/inlmath], a to je izvan zadatog opsega za [inlmath]x[/inlmath], to znači da je tim zadatim opsegom obuhvaćen samo deo leve parabole, tako da je funkcija na posmatranom intervalu injektivna i može joj se odrediti inverzna funkcija.
Pošto se [inlmath]x[/inlmath] za zadatu funkciju nalazi u intervalu [inlmath]\left(-\infty,0\right][/inlmath], u tom intervalu se mora nalaziti vrednost njoj inverzne funkcije. Zato, kad pri računanju inverzne funkcije dođemo do koraka
[dispmath]x=1\pm\sqrt{14-y}[/dispmath]
moramo odabrati minus, kako bi [inlmath]x[/inlmath], koje zapravo predstavlja vrednost inverzne funkcije, moglo imati negativne vrednosti. Ako bismo odabrali plus, [inlmath]x[/inlmath] bi moglo biti samo pozitivno, tj. ne bi se moglo naći unutar intervala [inlmath]\left(-\infty,0\right][/inlmath].

Tražena inverzna funkcija, [inlmath]f^{-1}\left(x\right)=1-\sqrt{14-x}[/inlmath], obeležena je na grafiku zelenom bojom.

---

Morate uvek priložiti sve podatke koji se nalaze u zadatku, svaki podatak je bitan