MATEMANIJA

Naći inverznu funkciju funkciji: [inlmath]f(x)=\sqrt{4-x^2},\;-2\le x\le0[/inlmath]
Naći inverznu funkciju nije problem, nego mi nije baš jasan rezultat
[dispmath]y=\sqrt{4-x^2}[/dispmath][dispmath]4-x^2=y^2[/dispmath][dispmath]x^2=4-y^2[/dispmath][dispmath]|x|=\sqrt{4-y^2}[/dispmath][dispmath]x=-\sqrt{4-y^2}[/dispmath][dispmath]f^{-1}(x)=-\sqrt{4-x^2}[/dispmath] Može li neko da mi objasni zašto minus? Pretpostavljam da je zbog apsolutne vrednosti, ali da li ovde treba uzeti u obzir i da ovo ispod korena mora biti [inlmath]\ge0[/inlmath]?

Nisam baš najsigurniji, ali pokušaću, a neko će već da koriguje ako treba. U početnoj funkciji, zadat je interval u kome mora da se nalazi [inlmath]x[/inlmath]. Kao što se vidi iz uslova (i iz oblasti definisanosti početne funkcije), [inlmath]x[/inlmath] mora da bude negativan broj. U poslednjem koraku traženja inverzne funkcije (kada "skidaš" apsolutnu vrednost), ti znaš da [inlmath]x[/inlmath] mora da bude manje ili jednako od [inlmath]0[/inlmath]. Koren je po definiciji nenegativan, pa tim minusom to dobijaš "pravi" znak koji ti treba.

Što se tiče minusa ispred korena, upravo je ovako kako je miletrans objasnio.

Međutim, rešenje za inverznu funkciju nije dobro (bar nije potpuno). Ako je originalna funkcija [inlmath]f(x)=\sqrt{4-x^2}[/inlmath] uz uslov [inlmath]-2\le x\le0[/inlmath], tada inverzna funkcija glasi [inlmath]f^{-1}(x)=-\sqrt{4-x^2}[/inlmath], ali uz uslov [inlmath]0\le x\le2[/inlmath].

U prvom koraku, [inlmath]y=\sqrt{4-x^2}[/inlmath], pre kvadriranja moramo postaviti uslov. Desna strana nije negativna, prema tome, ne sme biti negativna ni leva strana, znači, mora važiti [inlmath]y\ge0[/inlmath]. U kombinaciji s uslovom da u krajnjem izrazu za inverznu funkciju, [inlmath]x=-\sqrt{4-y^2}[/inlmath], potkorena veličina mora biti nenegativna, dobije se da je [inlmath]0\le y\le2[/inlmath]. Zamenom [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] sa [inlmath]x[/inlmath], dolazimo do [inlmath]0\le x\le2[/inlmath].

I, da li si možda u četvrtom koraku umesto [inlmath][x][/inlmath] htela da napišeš apsolutnu vrednost od [inlmath]x[/inlmath], tj. [inlmath]|x|[/inlmath]?

Nisam ni primetila da je uglasta zagrada, htela sam apsolutnu vrednost

Ispravljeno.