MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 1. jul 2004.
3. zadatak

Najmanja vrednost f-je [inlmath]f(x)=2x^2+4x+5[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;2,\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\frac{1}{2},\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\frac{1}{3},\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;3,\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;0[/inlmath]

Je l' se ovo radi preko prvog izvoda ili? Nije dat nikakav segment, pa ne znam kako bih ga resio.

Može i preko prvog izvoda, ali nije neophodno. Dovoljno je da se setiš oblika kvadratne funkcije. Kad je koeficijent uz kvadratni član pozitivan (kao u ovom slučaju), tada se kvadratna funkcija „smeši“, tj. ima oblik smajlija – kraci su joj okrenuti prema gore, a teme prema dole i tada teme, zapravo, predstavlja minimum. Možeš pogledati animaciju.

Koordinate temena kod kvadratne funkcije, [inlmath]x_T[/inlmath] i [inlmath]y_T[/inlmath], date su izrazima:
[dispmath]x_T=-\frac{b}{2a}\qquad y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}[/dispmath] pa iz toga možeš izračunati najmanju vrednost funkcije, kao [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena.

A možeš i kao što si pitao, izjednačavanjem prvog izvoda s nulom, čisto da proveriš da li ti se rešenja poklapaju.

Daniel je napisao:Koordinate temena kod kvadratne funkcije, [inlmath]x_T[/inlmath] i [inlmath]y_T[/inlmath], date su izrazima:
[dispmath]x_T=-\frac{b}{2a}\qquad y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}[/dispmath] pa iz toga možeš izračunati najmanju vrednost funkcije, kao [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena.

Ali kad prvi izvod izjednacim sa [inlmath]0[/inlmath] dobijem resenje [inlmath]-1[/inlmath]. A treba [inlmath]3[/inlmath] da bude. I je li minimun trazim kada zamenim [inlmath]-\frac{b}{2a}[/inlmath] ili [inlmath]-\frac{D}{4a}[/inlmath]?

smAshh je napisao:Ali kad prvi izvod izjednacim sa [inlmath]0[/inlmath] dobijem resenje [inlmath]-1[/inlmath]. A treba [inlmath]3[/inlmath] da bude.

Pazi, izjednačavanjem izvoda s nulom dobijaš [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena, ali to nije minimalna vrednost funkcije, već je to ona vrednost promenljive za koju će funkcija imati minimalnu vrednost. Minimalnu vrednost funkcije ćeš dobiti tako što sada tu vrednost koju si dobio, [inlmath]-1[/inlmath], uvrstiš u izraz za funkciju [inlmath]f(x)=2x^2+4x+5[/inlmath]. Znači, [inlmath]f(-1)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)+5[/inlmath] i kad to izračunaš, ispadne [inlmath]3[/inlmath].

smAshh je napisao:I je li minimun trazim kada zamenim [inlmath]-\frac{b}{2a}[/inlmath] ili [inlmath]-\frac{D}{4a}[/inlmath]?

Ovo drugo. Kao što sam ti napisao, najmanju vrednost funkcije tražiš kao [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena, a dao sam ti izraz za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena, to je [inlmath]\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath].

A, da se trazio maximum, a data ista f-ja? Kako bi se to onda radilo?

Ne bi se radilo nikako. Ta funkcija ne može imati maximum.

Znači, još jednom da rezimiram:

Kada je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, kao u ovom slučaju:

• funkcija ima oblik kao da se „smeši“;
• kraci su joj okrenuti prema gore;
• teme joj je okrenuto prema dole, tj. teme te funkcije predstavlja njen mimimum;
• funkcija nema maximum, budući da njeni kraci idu prema gore do [inlmath]+\infty[/inlmath].

Kada je koeficijent uz kvadratni član negativan, kao, recimo, kod funkcije [inlmath]f\left(x\right)=-3x^2+5x-4[/inlmath]:

• funkcija ima oblik kao da je „tužna“;
• kraci su joj okrenuti prema dole;
• teme joj je okrenuto prema gore, tj. teme te funkcije predstavlja njen maximum;
• funkcija nema minimum, budući da njeni kraci idu prema dole do [inlmath]-\infty[/inlmath].

Još jednom bih te uputio da pogledaš animaciju kvadratne funkcije u zavisnosti od prometne koeficijenta uz kvadratni član.

Aha, razumem sad... ali da je data neka f-ja npr koja ima max, a treba ga odrediti? Je li bi isto radili prvi izvod i menjali ili?

Da, kad god se traži ekstremna vrednost neke funkcije (bilo maksimum, bilo minimum), to se može raditi tako što se njen prvi izvod izjednači s nulom (kažem, može se raditi, jer nekad postoje i alternativni načini nalaženja maksimuma/minimuma, kao, recimo, kod kvadratne funkcije). Ponekad je potrebno još i proveriti da li ekstremna vrednost (u kojoj je prvi izvod jednak nuli) predstavlja maksimum ili minimum, a za to je potrebno odrediti i drugi izvod – ako je drugi izvod u toj tački pozitivan, radi se o minimumu, a ako je drugi izvod negativan, radi se o maksimumu.