MATEMANIJA

Dodefinišite funkciju [inlmath]f(x)=\frac{x^a-1}{x-1},\;a\ge0[/inlmath], u tački [inlmath]x=1[/inlmath] (ako je moguće) da dobijete neprekidnu funkciju na [inlmath](0,\infty)[/inlmath].
Ja kada sam uradio lijevi i desni limes dobio sam:
[inlmath]\lim\limits_{x\to1^-}=a[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to1^+}=a[/inlmath], pa vidimo da imamo otklonjiv prekid, ali me interesuje, kako sada da dodefinisem funkciju, i sta to znaci uopste? msm ovde u ovoj zadatoj funkciji jedini problem predstavlja u imeniocu kada [inlmath]x[/inlmath] bude jednako jedan, a za bilo koje druge vrijednosti na ovom intervalu vidimo da nema prekida.

Evo da pokušam da pomognem:

U slučaju otklonjivog prekida, moze se definisati nova funkcija [inlmath]g[/inlmath] pomoću:
[dispmath]g(x)=\begin{cases}
f(x), & x\in A\setminus\left\{1\right\},\\
\lim\limits_{x\to a}f(x), & x=a,
\end{cases}[/dispmath] koja je neprekidna u tački [inlmath]a[/inlmath], a sa funkcijom [inlmath]f[/inlmath] se poklapa u svim ostalim tačkama njenog domena.

Ovde je [inlmath]A=(0,\infty)[/inlmath], a [inlmath]a=1[/inlmath]. Nadam se da će ovo pomoći.

Nije trebalo da upotrebiš baš oznaku [inlmath]a[/inlmath], budući da se upravo oznaka [inlmath]a[/inlmath] pojavljuje u samom zadatku, pa može nekog da zbuni.

Dakle, ne treba mešati oznaku [inlmath]a[/inlmath] iz zadatka i oznaku [inlmath]a[/inlmath] iz Gogelevog odgovora.

Ili, napišimo Gogelev odgovor ovako:
[dispmath]g(x)=\begin{cases}
f(x), & x\in A\setminus\{b\},\\
\lim\limits_{x\to b}f(x), & x=b,
\end{cases}[/dispmath] pri čemu je u ovom konkretnom slučaju [inlmath]b=1[/inlmath].

Vidim da nije odgovoreno na mozda i sustinsko pitanje: i sta to znaci uopste?

Kako to neki znaju smireno i nasiroko da ispricaju, to cu ipak sacekati sa odgovorom.