MATEMANIJA

Realan broj [inlmath]a[/inlmath] za koji funkcija [inlmath]f(x)=ax^2+\left(a^2-a-42\right)x+2a+1[/inlmath] dostize maksimum za [inlmath]x=1[/inlmath], pripada intervalu

[inlmath]\left(-\frac{7}{2},-1\right)\\
\left(-8,-\frac{11}{2}\right)\\
\left(\frac{7}{2},5\right)\\
\left(\frac{11}{2},14\right)\\
(14,16)[/inlmath]

Nemam tacno resenje. Evo kako sam ja radio: Nasao sam prvi izvod iz ove funkcije, zatim sam zamenio [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]1[/inlmath] i onda dobio [inlmath]a^2+a-42[/inlmath], izjednacio sam to sa nulom i odatle je [inlmath]a=6[/inlmath] ili [inlmath]a=-7[/inlmath]. Da li ovo moze ovako da se radi ili treba nesto drugacije ? Odavde bi resenje bilo [inlmath]a=-7[/inlmath], jer za ovo drugo funkcija postize minimum... nisam siguran da li mi je dobro jer nemam resenje

Jeste, OK je postupak, OK je rezultat, OK je sve.
Drugi način (potpuno ravnopravan s tvojim načinom) bio bi da se umesto izvoda upotrebi formula za [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena, [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath].
Možeš uočiti i sledeću zanimljivost: slobodan član [inlmath]2a+1[/inlmath] nema uticaja na rešenje koje se dobije, znači, funkcija je mogla biti i [inlmath]f(x)=ax^2+\left(a^2-a-42\right)x+{\color{red}3a-5}[/inlmath], ili s bilo kojim drugim slobodnim članom, rešenje bi opet bilo [inlmath]a=-7[/inlmath]. To je i logično, jer promena slobodnog člana translira grafik funkcije samo „u vertikalnom pravcu“, dok [inlmath]x[/inlmath]-koordinata maksimuma ostaje netaknuta.