MATEMANIJA

U pravougli trougao cije katete imaju duzine [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] upisan je pravougaonik maksimalne povrsine tako da mu jedna stranica pripada hipotenuzi trougla. Odredite povrsinu pravougaonika.
Samo zeim da proverim resenje, tj da je [inlmath]P=\frac{ab}{4}[/inlmath] ?

Da, i ja dobijem to rešenje.

Samo, šta će ti diferencijalni račun za ovo? Čista geometrija i malo poznavanja kvadratne funkcije...

Pa taj zadatak mi je dat i u planimetriji i u primeni diferencijalnog racuna, pa se podrazumeva da bi trebalo onda da znam na oba nacina da uradim

Može li neko da postavi rešenje ovog zadatka (na oba načina)?

Evo načina preko planimetrije, a preko diferencijalnog računa bi i mene zanimalo da vidim. Nadam se da će sevdah biti ljubazna pa nam priložiti i svoj način.


Iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ADC[/inlmath] i [inlmath]\triangle CDB[/inlmath]:[dispmath]b:h=a:\sqrt{a^2-h^2}[/dispmath][dispmath]b\sqrt{a^2-h^2}=ah\quad /\;\left(\phantom a\right)^2[/dispmath][dispmath]a^2b^2-b^2h^2=a^2h^2[/dispmath][dispmath]\left(a^2+b^2\right)h^2=a^2b^2[/dispmath][dispmath]c^2h^2=a^2b^2[/dispmath][dispmath]h=\frac{ab}{c}\quad\left(1\right)[/dispmath]Iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle MNC[/inlmath]:[dispmath]c:h=y:\left(h-x\right)[/dispmath][dispmath]c\left(h-x\right)=hy[/dispmath][dispmath]y=c\left(1-\frac{x}{h}\right)\quad\left(2\right)[/dispmath][dispmath]\left(1\right),\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad y=c\left(1-\frac{c}{ab}x\right)[/dispmath][dispmath]y=c-\frac{c^2}{ab}x[/dispmath]Površina pravougaonika u zavisnosti od jedne njegove stranice:[dispmath]P=xy=x\left(c-\frac{c^2}{ab}x\right)[/dispmath][dispmath]P=-\frac{c^2}{ab}x^2+cx\quad\left(3\right)[/dispmath]Pošto je koeficijent uz kvadratni član negativan, vidimo da će ova kvadratna funkcija imati maksimum. Kako bismo našli [inlmath]x[/inlmath] za koje će [inlmath]P[/inlmath] biti maksimalno, primenimo formulu za [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena kvadratne funkcije, [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath]:[dispmath]x=-\frac{c}{-2\frac{c^2}{ab}}[/dispmath][dispmath]x=\frac{ab}{2c}[/dispmath]I kad to uvrstimo u formulu za površinu [inlmath]\left(3\right)[/inlmath]:[dispmath]P_\mbox{max}=-\frac{\cancel{c^2}}{ab}\left(\frac{ab}{2\cancel c}\right)^2+\cancel c\frac{ab}{2\cancel c}[/dispmath][dispmath]P_\mbox{max}=-\frac{ab}{4}+\frac{ab}{2}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{P_\mbox{max}=\frac{ab}{4}}[/dispmath]

---

Inače, kad smo došli do formule za površinu u zavisnosti od [inlmath]x[/inlmath], mogli smo naći [inlmath]x[/inlmath] za koje je površina maksimalna i pomoću prvog izvoda površine [inlmath]P[/inlmath] po promenljivoj [inlmath]x[/inlmath], tako što ga izjednačimo s nulom (@sevdah baby, da li si možda pod „diferencijalnim računom“ mislila na taj postupak?)[dispmath]P\:'_x=\left(-\frac{c^2}{ab}x^2+cx\right)'[/dispmath][dispmath]P\:'_x=-2\frac{c^2}{ab}x+c=0[/dispmath][dispmath]2\frac{c^2}{ab}x=c[/dispmath][dispmath]x=\frac{ab\cancel c}{2c^\cancel 2}[/dispmath][dispmath]x=\frac{ab}{2c}[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]što je ista vrednost koja je dobijena i na prethodni način; dalji postupak je isti – ova vrednost se uvrsti u izraz za površinu i nađe se [inlmath]P_\mbox{max}[/inlmath]...