MATEMANIJA

Ovo je 10. zadatak sa prijemnog MATF 2008. godine. Zadatak glasi:

Jednačina [inlmath]|x-1|-|x-2|+|x-3|=a[/inlmath] ima [inlmath]4[/inlmath] rešenja ako i samo ako parametar [inlmath]a[/inlmath] pripada intervalu:
Tačan odgovor ovog zadatka je [inlmath](1,2)[/inlmath].

Sve u svemu, zadatak mi na prvi pogled nije izgledao nešto posebno komplikovan, ali kada sam odlučio da nacrtam grafik video sam da baš nije toliko lak koliko sam mislio. Prvo sam ovo odvojio na dve funkcije:
[dispmath]f(x)=a[/dispmath] i
[dispmath]f(x)=|x-1|-|x-2|+|x-3|[/dispmath] Zatim sam pokušao da prvo ručno crtam grafik [inlmath]|x-1|-|x-2|[/inlmath] pa da na njega dodam [inlmath]|x-3|[/inlmath], ali ništa iz toga nisam dobio.

Posle dosta neuspelih pokušaja, ja sam uneo ovo u Desmos i kao rezultat dobio ovakav grafik:


I zaista, na osnovu ovoga se vidi da [inlmath]a[/inlmath] ima tačno [inlmath]4[/inlmath] rešenja samo na intervalu [inlmath](1,2)[/inlmath], ali ja stvarno ne znam kako da dođem do ovog konačnog oblika grafika.

Sada ono što meni ovde nije najjasnije - kako se ovo dobije? Kasnije sam pokušavao i u Desmosu da uočim neku sličnost ili bilo šta što bi mi pomoglo, ali mi je to samo još više zakomplikovalo sve i još više me zbunilo. Bilo kakvu pomoć prihvatam, i kao i uvek, zahvalan sam na istoj.

Odmah možeš uočiti da su „kritične“ tačke [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] (jer za te vrednosti [inlmath]x[/inlmath] neka od ovih apsolutnih zagrada biće jednaka nuli). Znači, razdvojiš na slučajeve [inlmath]x\in(-\infty,1)[/inlmath], [inlmath]x\in[1,2)[/inlmath], [inlmath]x\in[2,3)[/inlmath] i [inlmath]x\in[3,+\infty)[/inlmath]. Za svaki od ta četiri slučaja središ izraz za funkciju i nacrtaš odgovarajući grafik na tom intervalu.

A to je moglo tako? Ja sam mislio da moram nekako drugačije da dodajem grafike jedan na drugi. Svakako hvala, sad ću da pokušam pa ću da javim ako imam nekih problema.

Imaš i detaljnije objašnjen postupak crtanja u ovoj temi.

@Daniel rešio sam ovo, hvala ti puno na instrukcijama.