MATEMANIJA

Pozdrav
Treba mi mala pomoc oko funkcija, tacnije zanima me kako da uporedim da li su dvije ili tri funkcije jednake, odnosno sta je potrebno sve odrediti. Konkretno u pitanju je ovaj zadatak:

Date su funkcije [inlmath]f_1(x)=2\log_2x[/inlmath], [inlmath]f_2(x)=2\log_2[x][/inlmath], [inlmath]f_3(x)=2\log_2x^2[/inlmath], [inlmath]f_4(x)=\frac{2}{\log_x2}[/inlmath].
Ako medju datim funkcijama ima jednakih, napisati koje su jednake. Odgovore obrazloziti.

Možemo reći da su dve funkcije jednake ako imaju iste grafike, tj. ako imaju isti domen i isti kodomen. Što znači da je potrebno odrediti domene i kodomene datih funkcija. Funkcije [inlmath]f_2(x)[/inlmath] i [inlmath]f_3(x)[/inlmath] imaju isti domen, ali ne i kodomen, pa nisu jednake. Da je, recimo, [inlmath]f_3(x)=\log_2x^2[/inlmath], onda bi funkcije [inlmath]f_2(x)[/inlmath] i [inlmath]f_3(x)[/inlmath] bile jednake. Međutim, [inlmath]f_4(x)=\frac{2}{\log_x2}=2\log_2x[/inlmath], pa su funkcije [inlmath]f_1(x)[/inlmath] i [inlmath]f_4(x)[/inlmath] jednake. A ove dve funkcije su, jasno, različite od funkcija [inlmath]f_2(x)[/inlmath] i [inlmath]f_3(x)[/inlmath], jer su funkcije [inlmath]f_2(x)[/inlmath] i [inlmath]f_3(x)[/inlmath] definisane i za negativne vrednosti argumenta.

Ne bih se baš složio oko nekoliko stvari. Prvo, to da dve funkcije imaju isti domen i isti kodomen jeste potreban, ali ne i dovoljan uslov da bi te funkcije bile jednake. Primer su funkcije [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath]. One imaju isti domen (skup [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]) i isti kodomen (interval [inlmath][-1,1][/inlmath]), ali nisu jednake. Naravno, ako nemaju isti domen i/ili ako nemaju isti kodomen, onda svakako ne mogu biti ni jednake.

Onda,

Igor je napisao:Da je, recimo, [inlmath]f_3(x)=\log_2x^2[/inlmath], onda bi funkcije [inlmath]f_2(x)[/inlmath] i [inlmath]f_3(x)[/inlmath] bile jednake.

Mislim da [inlmath][x][/inlmath] ne označava apsolutnu vrednost (kao što si ti očigledno pretpostavio), već označava celobrojni deo (mada, češća oznaka za celobrojni deo je [inlmath]\lfloor x\rfloor[/inlmath]).
Mada bi i meni bilo sasvim logično da u ovom zadatku jeste u pitanju apsolutna vrednost. Tako da za ovo nisam sasvim siguran.

Igor je napisao:Međutim, [inlmath]f_4(x)=\frac{2}{\log_x2}=2\log_2x[/inlmath], pa su funkcije [inlmath]f_1(x)[/inlmath] i [inlmath]f_4(x)[/inlmath] jednake.

Jednakost [inlmath]\frac{2}{\log_x2}=2\log_2x[/inlmath] važi za svako pozitivno [inlmath]x[/inlmath] različito od [inlmath]1[/inlmath], ali ne važi i za [inlmath]x=1[/inlmath]. Tada je [inlmath]\log_2x[/inlmath] definisan (i iznosi [inlmath]0[/inlmath]), ali nije definisan i [inlmath]\frac{2}{\log_x2}[/inlmath]. Dakle, domeni funkcija [inlmath]f_1(x)[/inlmath] i [inlmath]f_4(x)[/inlmath] nisu isti, pa samim tim ni ove dve funkcije ne mogu biti jednake.

Čisto da ne ostane nedorečeno, funkcije [inlmath]f\colon X\to Y[/inlmath] i [inlmath]g\colon X\to Y[/inlmath] su jednake ako (a može i ako i samo ako, da ne zalazimo sada u detalje) [inlmath]\left(\forall x\in X\right)f(x)=g(x)[/inlmath].