MATEMANIJA

Ako je [inlmath]M_1[/inlmath] najveca vrednost funkcije [inlmath]f_1(x)=(\log_5 6)^{\sin x}[/inlmath] a [inlmath]M_2[/inlmath] najveca vrednost funkcije [inlmath]f_2(x)=(\log_6 5)^{\cos x}[/inlmath], tada je:
[inlmath](A)\;M_1\cdot M_2=1\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;M_1=M_2\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;M_1<M_2\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;M_1>M_2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;M_1=1+M_2[/inlmath]

Tacan odgovor je pod [inlmath]B[/inlmath], ali nemam nikakvih smernica u testu, ne znam ni da li sam pogodio da treba izvodi da se rade

Ne, nema ovo mnogo veze s izvodima. Ovde treba da obratiš pažnju na to da je [inlmath]\log_5 6>1[/inlmath], dok je [inlmath]\log_6 5<1[/inlmath]. Eksponencijalna funkcija je rastuća kada je osnova veća od jedinice, a opadajuća je kada je osnova između nule i jedinice (možeš pogledati ovu animaciju eksponencijalne funkcije).

Zbog toga će funkcija [inlmath]\left(\log_5 6\right)^{\sin x}[/inlmath], kojoj je osnova veća od jedinice, imati maksimalnu vrednost onda kada [inlmath]\sin x[/inlmath] ima maksimalnu vrednost, tj. kada je [inlmath]\sin x=1[/inlmath]. Ta njena maksimalna vrednost biće[dispmath]M_1=\left(\log_5 6\right)^1=\log_5 6[/dispmath]
Za razliku od nje, funkcija [inlmath]\left(\log_6 5\right)^{\cos x}[/inlmath], kojoj je osnova između nule i jedinice, imaće maksimalnu vrednost onda kada [inlmath]\cos x[/inlmath] ima minimalnu vrednost, tj. kada je [inlmath]\cos x=-1[/inlmath]. Ta njena maksimalna vrednost biće[dispmath]M_2=\left(\log_6 5\right)^{-1}=\frac{1}{\log_6 5}=\log_5 6[/dispmath]Uporedimo ove dve vrednosti i vidimo da su jednake. Znači, tačan je odgovor [inlmath]M_1=M_2[/inlmath].

Nikad mi ovako jednostavno resenje ne bi palo na pamet A tek da posmatram ovo kao eksponencijalnu funkciju, ja sam se uhvatio za ovaj logaritam, a on je ovde prakticno nebitan. Hvala