MATEMANIJA

Pozdrav svima, imam jedno interesantno pitanje. Zanima me domen ove funkcije [inlmath]\ln\frac{x-4}{1-x}[/inlmath]
Uslov je da bude [inlmath]\frac{x-4}{1-x}>0[/inlmath] i [inlmath]1-x[/inlmath] različito od [inlmath]0[/inlmath]
Rješavanjem nejednačine [inlmath]\frac{x-4}{1-x}>0[/inlmath] dobije se da je domen [inlmath]Dp_1[/inlmath]: [inlmath]1<x<4[/inlmath]
Međutim ako izraz [inlmath]\ln\frac{x-4}{1-x}[/inlmath] transformišemo u [inlmath]\ln(x-4)-\ln(1-x)[/inlmath] i potom odredimo domen na način da postavimo uslov da je [inlmath]x-4>0[/inlmath] i [inlmath]1-x>0[/inlmath] dobićemo da je domen [inlmath]Dp_2[/inlmath] tako transformisane funkcije: [inlmath]1>x>4[/inlmath]
Očigledno je da skupovi [inlmath]Dp_1[/inlmath] i [inlmath]Dp_2[/inlmath] nemaju presjek. Kako je to moguće ako je [inlmath]y=\ln\frac{x-4}{1-x}=\ln(x-4)-\ln(1-x)[/inlmath]

Unaprijed hvala

Pazi, navedenu transformaciju ne možeš primenjivati uvek, tj. postoje uslovi pod kojima se ona može iskoristiti.

Dakle, [inlmath]\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b[/inlmath] ako važi [inlmath]a\gt0,\;b\gt0[/inlmath]. Na kraju, vidi se iz [inlmath]1>x>4[/inlmath] da transformacija nije moguća, jer jednostavno ne postoji takvo [inlmath]x[/inlmath] za koje važi navedeno.
Skup dat sa [inlmath]1>x>4[/inlmath] nije moguć, stoga zaključujemo da nije moguće da predstavlja domen neke funkcije. Budući da funkcija koju si naveo na početku ima „validan” domen, zaključujemo da ne može važiti jednakost između funkcija [inlmath]\ln\frac{x-4}{1-x}[/inlmath] i [inlmath]\ln(x-4)-\ln(1-x)[/inlmath].

Hvala