MATEMANIJA

Zadatak glasi: Odrediti inverznu funkciju [inlmath]f^{-1}[/inlmath] funkcije [inlmath]f(x)=\frac{2}{1-2\cos x}[/inlmath]. Ja sam ga rešio ovako:
[dispmath]f^{-1}\left(\frac{2}{1-2\cos x}\right)=x\\
t=\frac{2}{1-2\cos x}\\
\cos x=\frac{t-2}{2t}[/dispmath] Odavde mi je malo teže da ocenim koji su rezultati za [inlmath]x[/inlmath], ali pošto funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] ima na osnovnom periodu [inlmath]4[/inlmath] monotone grane, ja mislim da postoji više inverznih funkcija, ako uzmemo različite grane, pa tako:
[dispmath]\left(0\le\frac{t-2}{2t}\le1\;\Longrightarrow\;t\le-2\lor t\ge2\right)\\
x=\arccos\frac{t-2}{2t}\;\lor\;x=-\arccos\frac{t-2}{2t}[/dispmath]
[dispmath]\left(-1\le\frac{t-2}{2t}\le0\;\Longrightarrow\;\frac{2}{3}\le t\le2\right)\\
x=\pi-\arccos\left|\frac{t-2}{2t}\right|\;\lor\;x=\arccos\left|\frac{t-2}{2t}\right|-\pi[/dispmath] Dakle, prema tome bi trebalo da postoje [inlmath]4[/inlmath] inverzne funkcije:
[dispmath](x\le-2\;\lor\;x\ge2)f^{-1}(x)=\arccos\frac{x-2}{2x},\;f^{-1}(x)=-\arccos\frac{x-2}{2x}\\
\left(\frac{2}{3}\le x\le2\right)f^{-1}(x)=\pi-\arccos\left|\frac{x-2}{2x}\right|,\;f^{-1}(x)=\arccos\left|\frac{x-2}{2x}\right|-\pi[/dispmath] E sad, samo me zanima da li je ovo tačno, pošto nemam rešenje? Hvala puno na odgovoru

Data funkcija nije injektivna (štaviše, periodična je, a periodične funkcije ne mogu biti injektivne), pa pošto nije injektivna, nije ispunjen uslov da ona uopšte može imati inverznu funkciju.
Dakle, na ovakav tekst zadatka tačan odgovor bi glasio da za datu funkciju inverzna funkcija ne postoji.

Da je u zadatku definisan domen ove funkcije, i da je na tom domenu funkcija injektivna, kao i da je definisan kodomen kao skup vrednosti funkcije na tom domenu, e tada bi se moglo govoriti o inverznoj funkciji jer bi takva funkcija (za koju se traži inverz) bila bijektivna.

Tvoj postupak određivanja inverza (čak i kad bismo pretpostavili da se odnosi na neki zadati domen) ima neke greške (pogrešna podela na grane, apsolutna vrednost tamo gde nije potrebna, dodavanje i oduzimanje [inlmath]\pi[/inlmath] umesto [inlmath]2\pi[/inlmath]...) ali osnovna greška je uopšte traženje inverza za funkciju koja nije inverzibilna.