MATEMANIJA

Funkcija f je bijekcija ako i samo ako je [dispmath]f[f^{-1}[A]]=A[/dispmath]U opstem slucaju, direktna slika inverzne slike nekog skupa je podskup tog skupa, a jednakost vazi ako je funkcija "[inlmath]1-1[/inlmath]". Ovde imamo ekvivalenciju sto znaci da oba smera tvrdjenja moraju biti tacna. Jedan smer: Ako je funkcija bijekcija onda ova jednakost vazi jer kako je funkcija bijekcija ona je i "[inlmath]1-1[/inlmath]" pa tvrdjenje vazi. A drugi smer bi bio: Ako vazi ta jednakost onda zakljucujemo da funkcija mora biti "[inlmath]1-1[/inlmath]", ali ne i "na", pa ne mora biti bijekcija. Po ovakvom razmisljanju ispada da tvrdjenje ne vazi. A mozda negde gresim.

Ne, pogresila sam, u opstem slucaju je [dispmath]f[f^{-1}[A] \subseteq A,[/dispmath] dok je [dispmath]f[f^{-1}[A]=A[/dispmath] akko je funkcija "na" (pomesala sam sa inverznom slikom). Znajuci to,
[inlmath]\Rightarrow:[/inlmath] Ako pretpostavimo da je funkcija bijekcija, ona je i "na", pa je [inlmath]f[f^{-1}[A] = A.[/inlmath]
[inlmath]\Leftarrow:[/inlmath] Ako pretpostavimo da je [inlmath]f[f^{-1}[A]=A[/inlmath]onda funkcija mora biti "na", ali ne i "1-1", pa samim tim ni bijekcija. To znaci da ovaj smer ne vazi, pa je ovo tvrdjenje netacno.