MATEMANIJA

Ispitati tacnost sledeceg tvrdjenja, a potom dokazati ili opovrgnuti.

Za svaku funkciju [inlmath]f: X \rightarrow Y[/inlmath] vazi:
[inlmath]f[/inlmath] je [inlmath]"1-1"[/inlmath] akko za sve [inlmath]A,
B \subseteq X[/inlmath] vazi [inlmath]f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] \subseteq A \cup B[/inlmath].

Pretpostavimo da [inlmath]f[/inlmath] nije [inlmath]"1-1"[/inlmath]. Tada imamo:[dispmath]f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 \ne x_2[/dispmath]
Uzmimo da je: [inlmath]A=\{x_1\}, B=\{x_2\}[/inlmath]
Tada je:[dispmath]f[A] = \{f(x_1)\},\ f[B] = \{f(x_2)\}[/dispmath]
Kako je:[dispmath]\{f(x_1)\}=\{f(x_2)\}[/dispmath]
[dispmath]f[A]\ \Delta\ f[B] = \emptyset[/dispmath]
[dispmath]f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] = \emptyset[/dispmath]
[dispmath]A \cup B = \{x_1, x_2\}[/dispmath]
[dispmath]f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] \subseteq A \cup B[/dispmath]

Zakljucak: iz pretpostavke da funkcija nije [inlmath]"1-1"[/inlmath] funkcija dobijam da je tvrdjenje tacno, a ocekivala sam da dobijem neku kontradikciju. Iz te kontradikcije bih zakljucila da jedan smer ekvivalencije vazi, a ovako sledi da tvrdjenje ne vazi ako je funkcija [inlmath]"1-1"[/inlmath], sto nije tacno. Da li mi neko moze reci gde gresim?

Negacija od [inlmath](\forall A,B\subseteq X)\,\, f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] \subseteq A \cup B[/inlmath] je [inlmath](\exists A,B \subseteq X)\,\, f^{-1}[f[A]\ \Delta\ f[B]] \not\subseteq A \cup B[/inlmath]. Takodje, prikladnije je reci: postoje [inlmath]x_1,x_2 \in X[/inlmath] takvi da je [inlmath]f(x_1)=f(x_2)[/inlmath] i [inlmath]x_1\neq x_2,[/inlmath] umesto toga sto si i napisao (sto u opstem slucaju nije ni tacno).

Slazem se da sam to mogla preciznije reci: ako pretpostavimo da funkcija nije [inlmath]"1-1"[/inlmath] onda postoje [inlmath]x_1, x_2 \in X[/inlmath] takvi da je [inlmath]f(x_1) = f(x_2)[/inlmath] i [inlmath]x_1 \ne x_2[/inlmath]. Jasno mi je da je ovo [inlmath](\exists A, B \subseteq X) \ f^{-1}[f[A] \ \Delta \ f[B]] \not \subseteq A \cup B[/inlmath] negacija onog gore izraza. Ali meni nije bas najjasnije kako mogu da pokazem da je to tvrdjenje istinito. Pokusala sam pretpostavkom da funkcija nije [inlmath]"1-1"[/inlmath]. Ali tom pretpostavkom sam dobila da taj izraz vazi i ako funkcija nije injekcija. A tvrdjenje kaze: ako je funkcija injekcija, to tvrdjenje vazi, slicno, i u drugom smeru, taj izraz vazi ako je funkcija injekcija (odnosno, iz pretpostavke da izraz vazi, treba da zakljucimo da funkcija mora biti [inlmath]"1-1"[/inlmath]).
Onako kako sam ja suprotno pretpostavila i izabrala skupove [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], dobila sam da je [inlmath]f^{-1}[f[ \ A \ ] \ \Delta \ f[ \ B \ ]] = \emptyset[/inlmath], a s druge strane [inlmath]A \cup B = \{x_1, x_2 \}[/inlmath]. Kako je prazan skup podskup bilo kog skupa, onda izraz [inlmath]f^{-1}[f[A] \ \Delta \ f[B]] \subseteq A \cup B[/inlmath] vazi za svaku funkciju, a ne samo onu koja je injekcija. Dakle, ja sam u pretpostavci napravila skupove [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] takve da su njihove slike [inlmath]f[A][/inlmath] i [inlmath]f[B][/inlmath] jednake i ispalo je da ce i u tom slucaju dati izraz vaziti. A prema tvrdjenju taj izraz ne moze vaziti, jer ta funkcija koju sam ja napravila slika razlicite elemente domena u isti element kodomena, a takva funkcija ne moze biti [inlmath]"1-1"[/inlmath].
Ocito da nesto pogresno radim i zakljucujem, ili mi pak pretpostavke nisu dobre. A mozda bih mogla na neki drugi nacin da ispitam ili cak dokazem da ovo tvrdjenje vazi?

Lepo kaze "postoje skupovi za koje neki skup nije podskup od drugog skupova". To sto si ti nasla dva konkretna skupa za koje vazi da je [inlmath]f^{-1}[f[A] \triangle f[B] \subseteq A \cup B[/inlmath], ne znaci nista za kontrapoziciju i nije ni u kakvoj protivrecnosti sa tvrdjenjem zadatka, jer je potrebno pokazati da postoje (neki, tamo) skupovi za koje vazi [inlmath]f^{-1}[f[A] \triangle f[B]] \not \subseteq A \cup B.[/inlmath] Dakle, postoje.

Inace, mozda ti je lakse da to pokazes direktnije. Ako je funkcija [inlmath]f[/inlmath] 1-1, onda vazi da se njena slika lepo ponasa za presek i razliku (a za uniju se vec to zna) dva skupa, pa ako se iskoristi da je [inlmath]A \triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B),[/inlmath] moze se pokazati da je [inlmath]f[A] \triangle f[B] = f[A \triangle B],[/inlmath] u slucaju kada je [inlmath]f[/inlmath] injektivna funkcija. Odatle je vec lako.