MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 15. jun 2019.
9. zadatak

Ukupan broj realnih rešenja jednačine [inlmath]\ln\sqrt x=x^3-1[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;0;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;1;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{C)}\;2;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;3;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;4.[/inlmath]

---

Tačan odgovor je pod [inlmath]C[/inlmath], ali meni samo [inlmath]x=1[/inlmath] deluje kao rešenje ovog zadatka.

Pozdrav! Dobro došao na forum. Važno je da dodaš i link ka zadatku sa prijemnog (koji upućuje na taj zadatak na forumu), ali sam ja to odradio ovaj put


Da li ti ova slika pomaže i da li misliš da bi mogao da je nacrtaš?

Rekao bih da je u ovom zadatku glavna „caka“ dokazati da se krive ne dodiruju (pri čemu bi tačka dodira bila [inlmath]x=1[/inlmath]), već da se seku (pri čemu bi jedna od tačaka preseka bila tačka [inlmath]x=1[/inlmath]). Mislim da je upravo to ono što buni sekigana, a kako bismo grafik mogli nacrtati dovoljno precizno, moramo naći i uporediti izvode obe funkcije u tački [inlmath]x=1[/inlmath]. Kako se za izvod funkcije [inlmath]\ln\sqrt x[/inlmath] u tački [inlmath]x=1[/inlmath] dobije [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], a za izvod funkcije [inlmath]x^3-1[/inlmath] se u tački [inlmath]x=1[/inlmath] dobije [inlmath]3[/inlmath], sledi da ova potonja u toj tački ima veći nagib, pa se crtanjem grafika lako uočava da te dve funkcije moraju imati još jednu (i samo još jednu) zajedničku tačku u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath].

Da, slažem se, mada sam ipak pomislio da ne bi mogao da upadne u takvu zabludu ako pažljivo nacrta grafike funkcija, kao što sam ja uradio. Hteo sam mu poručiti, zavisno od odgovora, da je jednačina [inlmath]\ln\sqrt x=x^3-1[/inlmath] ekvivalentna
[dispmath]\frac{1}{2}\ln x=x^3-1[/dispmath] gde bi ako zna da nacrta grafik funkcije [inlmath]y=\ln x[/inlmath] (a što pretpostavljam zna iz drugog razreda srednje škole), grafik funkcije mogao nacrtati samo malo "priljubljeniji" uz [inlmath]x[/inlmath]-osu (za [inlmath]x>1[/inlmath]), odnosno [inlmath]y[/inlmath]-osu (za [inlmath]0<x<1[/inlmath]) čime bi dobio [inlmath]y=\frac{1}{2}\ln x[/inlmath]. Opet, ako zna grafik [inlmath]y=x^3[/inlmath] (ili ga ucrta, što ne bi trebalo da mu bude problem), onda može translirati taj grafik za [inlmath]-1[/inlmath] "nadole", čime dobija grafik funkcije [inlmath]y=x^3-1[/inlmath]. Kada nacrta ta dva grafika videlo bi se, po meni, dovoljno jasno da postoje dva rešenja, ali je, naravno, odgovorom iz posta iznad svaka dilema da je rešenje pod [inlmath]C[/inlmath] otklonjena.

Jel moguće rešiti zadatak negrafički?

[inlmath]\ln\sqrt x=x^3-1[/inlmath] predstavlja tzv. transcendentnu jednačinu, što znači da rešenja nije moguće naći analitičkim putem (jedno rešenje je moguće „napipati“, to je [inlmath]x=1[/inlmath] kako je već i rečeno, ali drugo rešenje uopšte nije celobrojno). Znači – ne gine grafički.

Grafik je često dobra pomoć, ali ne i u ovom zadatku. Analizirati funkciju


i odrediti broj nula. Funkcija je pozitivna na granicama svog domena, tj:


Nadjimo lokalne ekstreme pomoću prvog izvoda:




Funkcija je neprekidna i kako je

grafik funkcije preseca [inlmath]x[/inlmath]-osu u dve tačke.

Fare je napisao:Grafik je često dobra pomoć, ali ne i u ovom zadatku.

Zar upravo ovaj način nije – grafički?

Nije korišćen grafik, jer ga je teško dovoljno precizno skicirati (u ovom slučaju). Iskorišćena je neprekidnost funkcije na svom domenu, kao i egzistencija tačaka u kojima je funkcija pozitivna, odnosno negativna. A onda na osnovu (ne znam čija je teorema):
"Ako je funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] neprekidna na intervalu [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath] i ako je [inlmath]f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0[/inlmath], tada postoji [inlmath]c\in\left(a,b\right)[/inlmath] tako da je [inlmath]f\left(c\right)=0[/inlmath]."