MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 25. jun 2015.
4. zadatak

Ako je [inlmath]\displaystyle f(x−2)=\frac{x−1}{x+1}[/inlmath]; [inlmath]x\ne−1[/inlmath], onda je proizvod [inlmath]f^{−1}(3)\cdot f(1)[/inlmath]jednak:
[inlmath]A)\;4;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{B)}\;−2;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;2;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;12;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;−4;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam}.[/inlmath]

Ono što ja ne umem kod funkcija je da vratim na [inlmath]f(x)[/inlmath] kada je već promenjena ta početna. Može li mi neko objasniti kako se to radi? Ili, ako to nije potrebno ovde, kako se nalazi [inlmath]f(1)[/inlmath]?

U ovom konkretnom slučaju, uvodimo smenu:
[dispmath]x-2=t\\
x=t+2[/dispmath] Onda ubacimo ovu smenu u našu funkciju i sredimo tako da dobijemo da je [inlmath]f(t)[/inlmath] jednako neki izraz u kome figuriše [inlmath]t[/inlmath]. Pošto nam nije bitno kako ćemo da obeležimo promenljivu, umesto [inlmath]f(t)[/inlmath] možemo da napišemo [inlmath]f(x)[/inlmath] i svuda gde nam u izrazu figuriše [inlmath]t[/inlmath], menjamo ga sa [inlmath]x[/inlmath] i tako dobijamo "originalnu" funkciju. Možeš li to da uradiš za ovaj zadatak?

Hvala za ideju. Evo ga:

[inlmath]t=x-2\\
t+2=x[/inlmath]
[dispmath]f(t)=\frac{t+2-1}{t+2-1}=\frac{t+1}{t+3}[/dispmath] tj.
[dispmath]f(x)=\frac{x+1}{x+3}[/dispmath] Sledi da je
[dispmath]f(1)=\frac{1+1}{1+3}=\frac{1}{2}[/dispmath] Dalje nalazim inverznu funkciju od [inlmath]f(x)[/inlmath]:
[dispmath]f^{-1}\left(\frac{x+1}{x+3}\right)=x[/dispmath][dispmath]t=\frac{x+1}{x+3}[/dispmath][dispmath]t\cdot(x+3)=x+1[/dispmath][dispmath]tx+3t=x+1[/dispmath][dispmath]tx-x=1-3t[/dispmath][dispmath]x(t-1)=1-3t[/dispmath][dispmath]x=\frac{1-3t}{t-1}[/dispmath][dispmath]f^{-1}(x)=\frac{1-3x}{x-1}[/dispmath][dispmath]f^{-1}(3)=\frac{1-9}{3-1}=\frac{-8}{2}=-4[/dispmath][dispmath]f^{-1}(3)\cdot f(1)=-4\cdot\frac{1}{2}=-2[/dispmath]

Tako je

Nadam se da ti je jasan princip za zadatke ovog tipa.