MATEMANIJA

Naišao sam na zadatak za koji imam neke ideje kako je moguće rešiti ali za nijedan nisam siguran. Naime, zadatak glasi:

Date su funkcije [inlmath]f(x)=\frac{\cos(x)}{1+e^{1/x}}[/inlmath], [inlmath]g(x)=f(x)+f(-x)[/inlmath] i [inlmath]h(x)=f(x)-f(-x)[/inlmath].
Znajući da je [inlmath]g(x)[/inlmath] neparna, a [inlmath]h(x)[/inlmath] parna (mislim da su pogrešili ovde jer kad probam rešiti dobijam za [inlmath]g(x)=\cos(x)[/inlmath], a kosinus je parna funkcija), izračunati vrednost integrala [inlmath]\int_{-1}^1f(x)\,\mathrm dx[/inlmath].

Pošto preko formule za dekompoziciju na parne i neparne znam da je [inlmath]f(x)=\frac{h(x)+g(x)}{2}[/inlmath] mogu uraditi integral [inlmath]\int_{-1}^1[/inlmath] na obe strane i razdvojiti [inlmath]\frac{h(x)}{2}+\frac{g(x)}{2}[/inlmath] i to će izgledati ovako:
[dispmath]\int_{-1}^1f(x)\,\mathrm dx=\int_{-1}^1\cos(x)\,\mathrm dx+\int_{-1}^1\frac{h(x)}{2}\,\mathrm dx[/dispmath] Pošto je [inlmath]h(x)[/inlmath] neparna funkcija po pravilu njen integral od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] je jednak nuli, a pošto je [inlmath]\cos(x)[/inlmath] parna funkcija mogu računati u granicama od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath]. Kao rešenje zadatka dobijam [inlmath]\sin(1)[/inlmath].

Nadam se da je tačno.

naturalhova je napisao:Znajući da je [inlmath]g(x)[/inlmath] neparna, a [inlmath]h(x)[/inlmath] parna (mislim da su pogrešili ovde jer kad probam rešiti dobijam za [inlmath]g(x)=\cos(x)[/inlmath], a kosinus je parna funkcija),

Da, pogrešili su, treba obrnuto. To se može pokazati i bez računanja [inlmath]g(x)[/inlmath] (mada računanje [inlmath]g(x)[/inlmath] svakako ne gine kasnije) – može se uočiti [inlmath]g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=g(x)[/inlmath]. Slično se pokazuje i [inlmath]h(-x)=-h(x)[/inlmath].

naturalhova je napisao:[dispmath]\int_{-1}^1f(x)\,\mathrm dx=\int_{-1}^1\cos(x)\,\mathrm dx+\int_{-1}^1\frac{h(x)}{2}\,\mathrm dx[/dispmath]

Ovde si izostavio jednu polovinu. Verovatno samo propust u kucanju. Dakle, treba
[dispmath]\int_{-1}^1f(x)\,\mathrm dx={\color{red}\frac{1}{2}}\int_{-1}^1\cos(x)\,\mathrm dx+\int_{-1}^1\frac{h(x)}{2}\,\mathrm dx[/dispmath]

naturalhova je napisao:Kao rešenje zadatka dobijam [inlmath]\sin(1)[/inlmath].

Tako je, [inlmath]\sin1[/inlmath] je rešenje.