MATEMANIJA

1.Najveća vrednost funkcije [inlmath]f(x)=|2x-1|-|3x+1|[/inlmath] je ?

Zbog ovih apsolutnih vrednosti imamo dve kritične tačke:

[inlmath]2x-1=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2}[/inlmath]
[inlmath]3x+1=0\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{1}{3}[/inlmath]

pa pravimo tabelu:
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& x<-\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\le x<\frac{1}{2} & x\ge\frac{1}{2}\\ \hline
\left|2x-1\right| & 1-2x & 1-2x & 2x-1\\ \hline
\left|3x+1\right| & -3x-1 & 3x+1 & 3x+1\\ \hline
\left|2x-1\right|-\left|3x+1\right| & x+2 & -5x & -x-2\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Vidimo da je funkcija linearno rastuća u intervalu [inlmath]\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)[/inlmath], zatim je linerano opadajuća u intervalu [inlmath]\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)[/inlmath] i opet linearno opadajuća u intervalu [inlmath]\left(\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath].
Maksimum vrednosti funkcije biće na granici rastućeg i opadajućeg intervala, a to je tačka [inlmath]x=-\frac{1}{3}[/inlmath]. Vrednost funkcije u toj tački je[dispmath]f\left(-\frac{1}{3}\right)=\left|2\left(-\frac{1}{3}\right)-1\right|-\left|3\left(-\frac{1}{3}\right)+1\right|[/dispmath][dispmath]f\left(-\frac{1}{3}\right)=\left|-\frac{5}{3}\right|-\cancelto{0}{\left|-1+1\right|}[/dispmath][dispmath]f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{3}[/dispmath]

@Daniel izvini što vraćam opet ovaj zadatak posle nekoliko godina, ali radio sam ga upravo i malo sam se zaglavio pa reko da pogledam rešenje, i zanima me da li ovo što si ti objasnio važi uvek?

Daniel je napisao:Maksimum vrednosti funkcije biće na granici rastućeg i opadajućeg intervala

Da li bi, na primer, da je u trećem slučaju opet bila linerna funkcija koja je rastuća, i tu postojao maksimum za tačku [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], jer to mi nekako zvuči logično?
Izvinjavam se opet ako je glupo pitanje, ali me zanima da li ovakav tip zadataka može uvek ovako da se reši, pošto je stvarno lako ako se ovako razmišlja.

Citirani deo važi samo za ovaj konkretan zadatak. U opštem slučaju kod neprekidnih funkcija, prelaz iz rastućeg u opadajući deo jeste lokalni maksimum, ali to ne mora nužno da bude i najveća vrednost funkcije, tj. globalni maksimum (iako u ovom zadatku to jeste bio slučaj).

Tinker je napisao:Da li bi, na primer, da je u trećem slučaju opet bila linerna funkcija koja je rastuća, i tu postojao maksimum za tačku [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], jer to mi nekako zvuči logično?

Imali bismo prelaz iz opadajućeg u rastući deo, znači, to bi bio lokalni minimum (nacrtaj grafik, s njega se jasno vidi). Tada čak i ne bi postojao globalni maksimum, jer bi za [inlmath]x\to+\infty[/inlmath] vrednost funkcije išla u [inlmath]+\infty[/inlmath].