MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 26. jun 2019.
18. zadatak

Zadatak ide ovako:
Funkcija [inlmath]f\colon\mathbb{R}\setminus\left\{-2\right\}\to\mathbb{R}[/inlmath] data je pomoću [inlmath]f\left(x\right)=\frac{x+1}{x+2}[/inlmath]. Zbir svih realnih brojeva [inlmath]x[/inlmath] za koje važi [inlmath]f\left(f\left(x\right)\right)=-x-1[/inlmath] jednak je:
Rešenje je: [inlmath]-\frac{4}{3}[/inlmath]

1. Ne razumem baš ovo preslikavanje koje se dešava ovde: [inlmath]f\colon\mathbb{R}\setminus\left\{-2\right\}\to\mathbb{R}[/inlmath]
2. Ja sam ubacio [inlmath]f(x)[/inlmath] iz zadatka u funkciju koju smo dobili posle, i zamenio [inlmath]x[/inlmath] u njoj, ali ne dobijem ništa.

Hvala na pomoći!

Za prvo pitanje:
Ovaj zapis znači da se svaki realni broj osim [inlmath]-2[/inlmath] ovom funkcijom preslikava u drugi realni broj. I, zaista, kada umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstiš bilo koji realni broj osim [inlmath]-2[/inlmath] dobićeš neki drugi realni broj. Jasno je zašto je [inlmath]-2[/inlmath] isključeno iz domena funkcije.

Za drugo pitanje:
Možeš li da napišeš kako si to "ubacio [inlmath]f(x)[/inlmath] u funkciju koju smo dobili"? Ovo je prdviđeno i našim Pravilnikom. Kako izgleda izraz za [inlmath]f(f(x))[/inlmath]? Napišeš ga, izjednačiš sa [inlmath]-x-1[/inlmath] i rešavaš kao "običnu" jednačinu po [inlmath]x[/inlmath]. Napiši šta si radio, pa da tražimo grešku (ja sam isto dobio da je rešenje [inlmath]-\frac{4}{3}[/inlmath]).

U redu shvatio sam ovo prvo pitanje.
Što se tiče drugog evo mog postupka. Imam problema sa funkcijama jer nisam uspeo da ih shvatim u školi pa sada idem ispočetka.
[dispmath]f\left(f\left(x\right)\right)=-x-1[/dispmath][dispmath]f\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=-\frac{x+1}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}[/dispmath][dispmath]f\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\frac{-2x-3}{x+2}[/dispmath] I tu sam stao i izgleda poprilično pogrešno, imam osećaj da se tako ne radi

Mislim da je najjednostavnije ako se stvari posmatraju tako da uvedemo smenu:
[dispmath]f(x)=\frac{x+1}{x+2}=t[/dispmath] Sada uslov zadatka možemo da zapišemo na sledeći način:
[dispmath]f(t)=\frac{t+1}{t+2}=-x-1[/dispmath] Obrati pažnju da sam sa desne strane napisao [inlmath]-x-1[/inlmath], a ne [inlmath]-t-1[/inlmath].

Sada vraćamo smenu:
[dispmath]f(f(x))=\frac{\frac{x+1}{x+2}+1}{\frac{x+1}{x+2}+2}=-x-1[/dispmath] Sada dalje ovo rešavaš kao običnu jednačinu. Naravno, ovo ne mora da se piše ovoliko detaljno, samo sam hteo da ti pokažem kako dobijamo šta.

Uspeo sam da shvatim Hvala ti