MATEMANIJA

Data je funkcija [inlmath]f(x)=2x-x^2[/inlmath] tada je [inlmath]f(f(f(1-x)))[/inlmath] jednako:
Resenje je: [inlmath]1-x^8[/inlmath]

Ja sam ovako radio i pogresio sam negde ali ne mogu da nadjem gresku:
[dispmath]f(1-x)=2\cdot(1-x)-(1-x)^2=1-x^2\\
f\left(1-x^2\right)=2-1=1\\
f(1)=0[/dispmath]

Dobro si izračunao [inlmath]f(1-x)[/inlmath]. Sledeći korak je da izračunaš [inlmath]f(f(1-x))[/inlmath]. To radimo tako što dobijenu vrednost za [inlmath]f(1-x)[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstimo u funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath], tako da imamo [inlmath]f(f(1-x))=f\left(1-x^2\right)=2\left(1-x^2\right)-\left(1-x^2\right)^2=2-2x^2-\left(1-2x^2+x^4\right)=2-2x^2-1+2x^2-x^4=1-x^4[/inlmath]. Sad da izračunaš [inlmath]f(f(f(1-x)))[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath] u funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] uvrsti dobijeni izraz za [inlmath]f(f(1-x))[/inlmath]. Inače ovo se zove kompozicija funkcija.

Hvala puno

Pavle2020 je napisao:[dispmath]f(1-x)=2\cdot(1-x)-(1-x)^2=1-x^2\\
f\left(1-x^2\right)=2-1=1\\
f(1)=0[/dispmath]

Prvi red je tačan, a druga dva nisu, pri čemu se za treći red vrlo lako i pokazuje da ne može biti tačan: [inlmath]f(1)=2\cdot1-1^2=1[/inlmath].

Hajd pošto je ovo rešeno, da postavim sad jedan „challenge“ (kako je danas moderan taj izraz). Dokazati da je
[dispmath]\underbrace{f\biggl(f\Bigl(\cdots f\bigl(f(1-x)\bigr)\cdots\Bigr)\biggr)}_{k\times f}=1-x^{2^k}[/dispmath]

Evo ja ću na tvoj "challenge" da odgovorim jednim "hintom": upotrebiti matematičku indukciju.