MATEMANIJA

Zdravo svima! Zadatak glasi:
Odrediti oblast vrednosti funkcije [inlmath]\;\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}[/inlmath].
Rešenje: [inlmath]f(x)\le-2\;\lor\;f(x)\ge2[/inlmath].
Zadaci ovog tipa se vrlo lako rešavaju šablonski na sledeći način:
[dispmath]y=f(x)=x+\frac{1}{x}\\
y=\frac{x^2+1}{x}\;/\cdot x\\
x^2-xy+1=0\\
D=b^2-4ac\ge0\\
y^2-4\ge0\;\Longrightarrow\;y\le-2\;\lor\;y\ge2[/dispmath] Nije mi jasno kako nigde nismo uzeli u obzir da za [inlmath]x=0[/inlmath] funkcija nije definisana, tj. kako smo sigurni da će kodomen date funkcije biti jednak onim vrednostima [inlmath]y[/inlmath]-a za koje su rešenja kvadratne jednačine [inlmath]x^2-xy+1=0[/inlmath] realna. Da li postoji neki razlog zašto je to tako?
Nijedan drugi pristup zadatku (osim ovog šablona) mi nije poznat. Zaista bih voleo da znam još neki način (koji se ne zasniva na šablonu) pristupanja ovom tipu zadtaka.
Pretpostavljam da se zadatak može uraditi i preko izvoda, no nisam još uvek stigao do njih. Hvala!

Za [inlmath]x>0[/inlmath] imamo:
[dispmath]\lim_{x\to0^+}f(x)=\infty\quad\lim_{x\to\infty }f(x)=\infty[/dispmath] Preuređivanjem nejednakosti, za [inlmath]x=1[/inlmath] možemo vidjeti
[dispmath]f(x)=x+\frac1x=1\cdot x+1\cdot\frac1x\ge x\cdot\frac1x+1\cdot1=2[/dispmath] Stoga za [inlmath]x>0[/inlmath], [inlmath]f(x)[/inlmath] ima pozitivan minimum koji je jednak [inlmath]2[/inlmath] i njegov opseg je [inlmath][2,+\infty)[/inlmath].
Konačno, s obzirom da je funkcija neparna i nije definisana za [inlmath]x=0[/inlmath], možemo zaključiti da je njen opseg [inlmath](-\infty,-2]\cup[2,+\infty)[/inlmath].

Frank je napisao:Nije mi jasno kako nigde nismo uzeli u obzir da za [inlmath]x=0[/inlmath] funkcija nije definisana, tj. kako smo sigurni da će kodomen date funkcije biti jednak onim vrednostima [inlmath]y[/inlmath]-a za koje su rešenja kvadratne jednačine [inlmath]x^2-xy+1=0[/inlmath] realna. Da li postoji neki razlog zašto je to tako?

Da smo jednačinu rešavali po [inlmath]x[/inlmath], tada bismo morali postaviti uslov definisanosti po [inlmath]x[/inlmath]. Međutim, ovde nismo imali rešavanje jednačine po [inlmath]x[/inlmath], već smo određivali kom opsegu mora pripadati [inlmath]y[/inlmath] da bi postojalo [inlmath]x[/inlmath] koje se preslikava u tu vrednost [inlmath]y[/inlmath].

Srdjan01 je napisao:[dispmath]1\cdot x+1\cdot\frac1x\ge x\cdot\frac1x+1\cdot1[/dispmath]

Može li objašnjenje za ovu nejednakost?