MATEMANIJA

Oko sledeceg zadatka mi treba pomoc, mogu da razumem i injekciju i surjekciju ali bijekcija mi nije jasna, niti slucaj kad nije ni injekcija ni surjekcija.

Data je funkcija [inlmath]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/inlmath] definisana sa [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath]. Pokazati da [inlmath]f[/inlmath] nije ni "1-1" ni "na". Odrediti podskupove [inlmath]A,B\subseteq\mathbb{R}[/inlmath] tako da:

a) [inlmath]f\colon A\to\mathbb{R}[/inlmath] bude injekcija, ali ne i surjekcija
b) [inlmath]f\colon\mathbb{R}\to B[/inlmath] bude surjekcija, ali ne i injekcija
c) [inlmath]f\colon A\to B[/inlmath] bude bijekcija i naci inverzno preslikavanje [inlmath]f^{-1}\colon B\to A[/inlmath]

Nisam znao ni da pocnem... Svaka pomoc bi mi znacila

Pogledaj za početak ovu temu (pogotovo grafike, koji bi ti mogli pomoći oko ovog zadatka), pa ako nešto ostane nejasno, slobodno pitaj.

Bas sam pogledao tu temu ali, nisam mogao da skontam opet ovo pod a,b,c....

Očekivao sam se da ćeš se malo i raspisati, da ćeš nešto pokušati... Ne može se baš reći da si se potrudio.

Ako bi domen bio ceo skup [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] i kodomen takođe ceo skup [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], funkcija [inlmath]f[/inlmath] ne bi bila ni injekcija ni surjekcija.
Injekcija ne bi bila jer bi za svaku vrednost [inlmath]x[/inlmath] važilo [inlmath]f(x)=f(-x)[/inlmath], tj. svako nenulto [inlmath]x[/inlmath] imalo bi svog parnjaka (tj. [inlmath]-x[/inlmath]) za koje bi funkcija imala istu vrednost kao i za to [inlmath]x[/inlmath].
Surjekcija ne bi bila jer vrednosti funkcije [inlmath]f[/inlmath] ne bi mogle imati negativne vrednosti.

Znači, ako hoćemo da [inlmath]f[/inlmath] bude injekcija, potrebno je da domen ograničimo ili na nenegativne vrednosti, ili na nepozitivne vrednosti. Možemo, dakle, domen ograničiti ili na [inlmath][0,+\infty)[/inlmath] (ili na neki njegov podinterval), ili na [inlmath](-\infty,0][/inlmath] (ili na neki njegov podinterval), ili možemo kombinovati, npr. [inlmath][-3,-2)\cup[0,2]\cup(3,+\infty)[/inlmath]. I to će onda biti injekcija.

Da bi bila surjekcija, potrebno je kodomen ograničiti samo na one vrednosti koje funkcija [inlmath]f[/inlmath] može imati, tj. na [inlmath][0,+\infty)[/inlmath] (ili na neki njegov podinterval).

Bi li umeo sad naći primere za a), b) i c)?

Kako da dokažem da je neka funkcija injektivna ili surjektivna? npr. [inlmath]f(x) = x^2[/inlmath], [inlmath]f(x) = x^3[/inlmath]

Prvo skiciraš grafik funkcije [inlmath]x^2[/inlmath]. Potom, kada si nacrtao grafik, povuci horizontalnu liniju u odnosu na grafik. Ako ta linija seče grafik 2 puta (a seče u ovom slučaju), onda ona nije injektivna. Da bi funkcija bila injektivna, sme seći grafik najviše jednom (a i ne mora uopšte), dok ova funkcija jeste sirjektivna, jer kod nje važi pravilo da ta linija sme da seče grafik, tj. mora da ga seče barem 1, a može i više puta.

Ako bi skicirao funkciju [inlmath]x^3[/inlmath], ona bi bila i injektivna i sirjektivna. Injektivna jer ta linija neće nikad seći grafik više od jednom. Za sirjektivnu pretpostavljam da je jasno.

E sad, ovo su sve bili opšti slučajevi. Često se daju kodomeni/domeni, pa se u odnosu na njih gleda.

P.S. Ovo je bio neki moj način kako ja radim, ali opet, možeš i na neki drugi naravno.

Acim je napisao:dok ova funkcija jeste sirjektivna, jer kod nje važi pravilo da ta linija sme da seče grafik, tj. mora da ga seče barem 1, a može i više puta.

Ne, funkcija [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] nije surjekcija, jer da bi bila surjekcija, mora svaka horizontalna linija da seče njen grafik bar u jednoj tački. Horizontalne linije koje su ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose ne seku ovaj grafik, te funkcija nije surjektivna.
Ovo je, naravno, pod pretpostavkom da je kao kodomen zadat skup realnih brojeva ([inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]).

Moram da napomenem da ove horizotalne linije o kojima sam pričao u svom postu služe samo kao neka ilustracija injektivnosti i surjektivnosti, a nikako ne mogu služiti kao formalan dokaz. Da bi se izveo formalan dokaz, mora se i krenuti od formalnih definicija. Formalna definicija za injekciju glasi [inlmath](\forall x_1,x_2\in X)\bigl(x_1\ne x_2\;\Longrightarrow\;f(x_1)\ne f(x_2)\bigr)[/inlmath]
što znači da se ne mogu dve različite vrednosti domena [inlmath]X[/inlmath] preslikavati u istu vrednost funkcije.
U slučaju funkcije [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] to bi se svelo na tvrdnju
[inlmath](\forall x_1,x_2\in X)\bigl(x_1\ne x_2\;\Longrightarrow\;x_1^2\ne x_2^2\bigr)[/inlmath]
čija se netačnost lako dokazuje kontraprimerom (npr. [inlmath]x_1=-1[/inlmath], [inlmath]x_2=1[/inlmath]).

Slično i za surjekciju, čija formalna definicija glasi
[inlmath](y\in Y)(\exists x\in X)\bigl(f(x)=y\bigr)[/inlmath],
a što znači da se u svaku vrednost kodomena [inlmath]Y[/inlmath] mora preslikavati neka vrednost domena [inlmath]X[/inlmath].

---

Pošto ovde nemamo bitne podatke šta predstavlja domen a šta kodomen, nego smo pretpostavili da su i domen i kodomen skupovi realnih brojeva, zamoliću @fantomi da ubuduće postavlja kompletne tekstove zadataka, kao što je i naglašeno tačkom 11. Pravilnika. Takođe bih te zamolio da obratiš pažnju i na tačku 6. i na tačku 13.