MATEMANIJA

Zdravo,
Imamo zadanu funkciju [inlmath]f\left(x\right)=e^x-1[/inlmath] i [inlmath]g\left(x\right)=\frac{1}{x^2}[/inlmath]. Odrediti [inlmath]f\left(g\left(x\right)\right)[/inlmath].
Rešenje zadatka kaže da je to [inlmath]\ln\left(\frac{\sqrt{x}+x}{x}\right)[/inlmath] što mi nikako nije jasno kako su dobili. Ja dobijam [inlmath]e^{\frac{1}{x^2}}-1[/inlmath] i tu se koliko vidim ne može više ništa razložiti.

Čudi me što sam dosta kompleksnije kompozicije rešavao, a na ovoj prostoj nikako ne uviđam grešku.

A da se ne traži možda [inlmath]f^{-1}\bigl(g^{-1}(x)\bigr)[/inlmath]?
I da li je dat još neki uslov kako bi [inlmath]g^{-1}(x)[/inlmath] postojalo?

Ne, baš se zapravo traži ovo što sam naveo. Evo slike celog zadatka;

Neka su [inlmath]f\colon(0,\infty)\to(0,\infty)[/inlmath] i [inlmath]g\colon(0,\infty)\to(0,\infty)[/inlmath] definisane sa [inlmath]f(x)=e^x-1[/inlmath] i [inlmath]g(x)=\frac{1}{x^2}[/inlmath]. Izračunati:
[inlmath]1)\;f^{-1}(x)=\qquad[/inlmath] [inlmath]2)\;g^{-1}(x)=\qquad[/inlmath] [inlmath]3)\;(f\circ g)(x)=\qquad[/inlmath] [inlmath]4)\;(f\circ g)^{-1}(x)=\qquad[/inlmath] [inlmath]5)\;\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)(x)=[/inlmath]

E sad, jedino što može biti problem su ovi domeni i kodomeni, ali nisam siguran. Dosta puta generalno viđam da stoji domen (nevezano za ovaj zadatak) npr [inlmath]\mathbb{R}\backslash\left(0,\infty\right)[/inlmath] ili slični i tu sam odradio tačno, ali ovde to nije slučaj izgleda.

Molim te (a i sve ostale) da uvek navedeš kompletan tekst zadatka, onako kako originalno glasi. Znači, ne da ga prepričavaš, već da ga prepišeš od reči do reči. Tačka 11. Pravilnika.
Uslov koji nisi napisao, a koji se odnosi na domene ovih funkcija vrlo je bitan, jer omogućava postojanje inverzne funkcije funkcije [inlmath]g(x)[/inlmath]. Zato sam to i pitao.
Ako za rešenje pod 3) piše ovo koje si naveo, [inlmath]\ln\left(\frac{\sqrt{x}+x}{x}\right)[/inlmath], onda to pripisujem štamparskoj grešci – treba da stoji, upravo kao što rekoh, [inlmath]\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)(x)[/inlmath].
Pokušaj da izračunaš ovu kompoziciju i, ako budeš tačno uradio, dobićeš upravo taj rezultat koji je napisan.
Za [inlmath](f\circ g)(x)[/inlmath] tvoj rezultat jeste tačan.

Definitivno je do njih bila štamparska greška, hvala puno.
Izvinjavam se zbog kršenja pravilnika.