Acim je napisao:da li bi bilo ispravno da se uradi ovako, ili je pogrešna ideja:
Ideja je dobra, mada imaš nekoliko grešaka. Ne treba da dodaš i da oduzmeš jedinicu, već neku drugu vrednost. Ovako s jedinicom, imao si množenje sa [inlmath]\frac{\sqrt{x^2+3}-1}{\sqrt{x^2+3}-1}[/inlmath], i time dobijaš u brojiocu neki izraz koji za [inlmath]x=1[/inlmath] neće biti nula. Tebi je cilj da se oslobodiš nule u imeniocu, a to ćeš postići jedino tako što ćeš pogodnim množenjima dobiti nulu i u brojiocu, tako da se nulti faktori u brojiocu i imeniocu međusobno skrate.
Imaš i grešku u poslednjem razlomku, u kojem je trebalo da imenilac bude jednak brojiocu, a ni brojilac mu ne valja, jer si radi dobijanja zbira kubova [inlmath]a^3+b^3[/inlmath] množio [inlmath](a+b)[/inlmath] i [inlmath]\left(a^{\color{red}3}-ab+b^2\right)[/inlmath], umesto da množiš [inlmath](a+b)[/inlmath] i [inlmath]\left(a^{\color{red}2}-ab+b^2\right)[/inlmath].
Vodi i računa da trinom pod trećim korenom nije [inlmath]x^{\color{red}2}+2x+5[/inlmath], već [inlmath]x^{\color{red}3}+2x+5[/inlmath].
OK, kako onda pronaći vrednost koju treba dodati i oduzeti? Neka to bude neka vrednost [inlmath]a[/inlmath]. Imaćemo:
[dispmath]\frac{\sqrt{x^2+3}+a-\sqrt[3]{x^3+2x+5}-a}{x^2-3x+2}[/dispmath] Rastavljamo to na razliku dva razlomka,
[dispmath]\frac{\sqrt{x^2+3}+a}{x^2-3x+2}-\frac{\sqrt[3]{x^3+2x+5}+a}{x^2-3x+2}[/dispmath] Svakom od ova dva razlomka pomnožimo brojilac i imenilac vrednošću koja mu brojilac dopunjuje do razlike kvadrata odnosno do zbira kubova,
[dispmath]\frac{\sqrt{x^2+3}+a}{x^2-3x+2}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}-a}{\sqrt{x^2+3}-a}-\frac{\sqrt[3]{x^3+2x+5}+a}{x^2-3x+2}\cdot\frac{\sqrt[3]{\left(x^3+2x+5\right)^2}-a\sqrt[3]{x^3+2x+5}+a^2}{\sqrt[3]{\left(x^3+2x+5\right)^2}-a\sqrt[3]{x^3+2x+5}+a^2}[/dispmath] pa primenimo razliku kvadrata, odnosno zbir kubova,
[dispmath]\frac{x^2+3-a^2}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt{x^2+3}-a\right)}-\frac{x^3+2x+5+a^3}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt[3]{\left(x^3+2x+5\right)^2}-a\sqrt[3]{x^3+2x+5}+a^2\right)}[/dispmath] Pošto nam je u imeniocima problematičan taj faktor [inlmath](x-1)[/inlmath] zbog kojeg je za [inlmath]x=1[/inlmath] imenilac jednak nuli, potrebno je da i u brojiocima takođe imamo faktor [inlmath](x-1)[/inlmath] kako bi se on skratio s onim u imeniocu. A čim u brojicu treba da imamo faktor [inlmath](x-1)[/inlmath], to znači da za [inlmath]x=1[/inlmath] ovako napisani brojioci treba da budu jednaki nuli. Dakle, uvrstimo [inlmath]x=1[/inlmath] u brojioce, izjednačimo s nulom, i odredimo [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]1^2+3-a^2=0\\
1^3+2\cdot1+5+a^3=0[/dispmath] odakle se dobije da je [inlmath]a=-2[/inlmath]. Dakle, to što smo brojiocu dodali a zatim oduzeli [inlmath]a[/inlmath], zapravo znači da prvo treba oduzeti, a zatim dodati [inlmath]2[/inlmath] (tim redom).
(Prikazao sam detaljan postupak određivanja [inlmath]a[/inlmath], iako bi nakon dosta ovakvih provežbanih zadataka vrednost [inlmath]a[/inlmath] bilo moguće u samom startu i „napipati“ bez nekog posebnog računanja.)
Uvrštavanjem [inlmath]a=-2[/inlmath] u gornji izraz, dobije se
[dispmath]\frac{x^2-1}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt{x^2+3}+2\right)}-\frac{x^3+2x-3}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt[3]{\left(x^3+2x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{x^3+2x+5}+4\right)}[/dispmath] I, budući da su brojioci oba razlomka jednaki nuli za [inlmath]x=1[/inlmath], jasno je da moraju u sebi sadržati faktor [inlmath](x-1)[/inlmath]; rastavljanjem imenioca na faktore takođe se, očekivano, dobije da mu je jedan faktor [inlmath](x-1)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{\cancel{(x-1)}(x-2)\left(\sqrt{x^2+3}+2\right)}-\frac{\cancel{(x-1)}\left(x^2+x+3\right)}{\cancel{(x-1)}(x-2)\left(\sqrt[3]{\left(x^3+2x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{x^3+2x+5}+4\right)}[/dispmath] Eliminisanjem faktora [inlmath](x-1)[/inlmath] iz brojioca i imenioca, isti više nisu jednaki nuli za [inlmath]x=1[/inlmath], tako da je sada sasvim jednostavno, uvrštavanjem [inlmath]x=1[/inlmath] u prethodni izraz, odrediti traženi limes.
Ovaj limes je moguće rešiti i bez dodavanja i oduzimanja [inlmath]a[/inlmath], tako što bi se na brojilac primenilo [inlmath]a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/inlmath] (radi oslobađanja od kvadratnog korena), a zatim [inlmath]a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}[/inlmath] (radi oslobađanja od kubnog korena). Može i obrnutim redosledom.
Preporučujem da isprobaš i taj način, pa da vidiš koji ti više odgovara.
Acim je napisao:Zbog čega u ovom slučaju ne bismo ispitivali [inlmath]\lim\limits_{x\to9-}\frac{\sqrt{9-x}-6}{3+\sqrt[3]{x}}[/inlmath] nego [inlmath]\lim\limits_{x\to-27}[/inlmath] od te funkcije?
Imam utisak da nisi razumeo šta suštinski znači
neprekidna funkcija. Da sad ostavimo po strani one suvoparne definicije, neprekidnu funkciju na nekom intervalu najlakše je shvatiti kao takvu funkciju čiji je grafik na tom intervalu moguće nacrtati bez odvajanja olovke od papira – znači funkcija koja nema nagle skokove ili padove u nekoj tački. Dakle, ako želiš da ti ova funkcija bude neprekidna na intervalu [inlmath](-\infty,9][/inlmath] (na kom je definisana), onda je logično da u tački [inlmath]x=-27[/inlmath] mora imati istu onu vrednost kojoj funkcija teži kada se [inlmath]x[/inlmath] približava [inlmath]-27[/inlmath] (bilo s leve, bilo s desne strane).
Nasuprot tome, funkcija nije definisana za vrednosti [inlmath]x[/inlmath] veće od [inlmath]9[/inlmath], a za [inlmath]x=9[/inlmath] ova funkcija svakako ima istu onu vrednost kojoj teži kada se [inlmath]x[/inlmath] približava [inlmath]9[/inlmath], nezavisno od toga koliko iznosi konstanta [inlmath]A[/inlmath]. Zbog toga nema svrhe tražiti [inlmath]\lim\limits_{x\to9-}[/inlmath].
Poslato: Utorak, 05. April 2022, 17:05