MATEMANIJA

Data je funkcija:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
ax+b, & x\ge0\\
\sin2x, & x<0
\end{cases}[/dispmath] Naći sve vrednosti konstanti [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] za koje je funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] neprekidna, ali nije diferencijabilna u tački [inlmath]x=0[/inlmath].

Kod ovog zadatka me buni samo podvučeni deo, tj. da li bi zadatku trebalo drugačije da se pristupi zbog toga? Nije mi baš najjasnije šta znači diferencijabilna funkcija.
Jedino što mi je palo na pamet je regularno da tražim limese na sledeći način:
[inlmath]\lim\limits_{x\to0-}(\sin2x)=0\\
\lim\limits_{x\to0+}(ax+b)=b[/inlmath]

Pa sam onda našao izvod od cele funkcije kako bih posle odredio [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
a, & x\ge0\\
2\cos2x, & x<0
\end{cases}[/dispmath] Pa da posle na isti način tražim limese kao i pre prvog izvoda. Da li je ispravno tako uraditi ili bi ipak trebalo na neki drugi način?

Ako je funkcija u nekoj tački diferencijabilna, to znači da joj je u toj tački prvi izvod definisan. Ako nije diferencijabilna, znači da prvi izvod nije definisan. I to je sve.
Grafički gledano, ako je funkcija glatka, onda joj se prvi izvod može jednoznačno odrediti (jer se na tom glatkom delu u svakoj tački može povući tačno jedna tangenta na grafik funkcije, a znamo da izvod predstavlja nagib tangente u nekoj tački grafika), pa je samim tim i diferencijabilna. Ako funkcija u nekoj tački ima „špic“, onda u toj tački nije diferencijabilna, jer u tački „špica“ možemo povući beskonačno mnogo tangenti, pa ni prvi izvod nije definisan.

Dobar primer funkcije koja nije diferencijabilna je [inlmath]f(x)=|x|[/inlmath] u tački [inlmath]x=0[/inlmath]. Ona je i navedena kao primer u ovom postu.

Acim je napisao:Pa da posle na isti način tražim limese kao i pre prvog izvoda. Da li je ispravno tako uraditi ili bi ipak trebalo na neki drugi način?

Da, upravo tako se radi.